Question

dana jest funkcja y=-2x2+8x+10

a)przedstaw trójmian kwadratowy w postaci kanonicznej

b) określ zbiór wartości funkcji

c) określ monotoniczność funkcji

d) wyznacz miejsce zerowe funkcji

e)przedstaw trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej

Answer 1

Funkcja kwadratowa:

Postać ogólna: y=ax²+bx+c

Δ=b²-4ac

x₁=[-b-√Δ]/2a

x₂=[-b+√Δ]/2a

Postać kanoniczna (wierzchołkowa): y=a(x-p)²+q, gdzie p,q - współrzędne wierzchołka

p=-b/2a

q=-Δ/4a

Δ=b²-4ac

Postać iloczynowa: y=a(x-x₁)(x-x₂), gdzie x₁,x₂ - miejsca zerowe (pierwiastki)

Zbiór wartości funkcji kwadratowej odczytujemy z osi Oy i w zależności od współczynnika kierunkowego (a) jest to zbiór:

-- gdy a>0 - Zb.w: y∈<q, ∞)

-- gdy a<0 - Zb.w: y∈(-∞, q>

Monotoniczność funkcji kwadratowej:

-- gdy a>0:

---- f. malejąca dla x∈(-∞, p)

---- f. rosnąca dla x∈(p, ∞)

-- gdy a<0:

---- f. rosnąca dla x∈(-∞, p)

---- f. malejąca dla x∈(p, ∞)

===============================================

y=-2x²+8x+10

a=-2

b=8

c=10

a) Postać kanoniczna:

p=-8/-4=2

q=-144/-8=18

Δ=8²-4*(-2)*10=64+80=144

y=-2(x-2)²+18

---------------------------

b)  Zbiór warości funkcji:

a=-2<0

Zb.w: y∈(-∞, 18>

---------------------------

c) Monotoniczność funkcji:

a=-2<0

-- f. rosnąca dla x∈(-∞, 2)

-- f. malejąca dla x∈(2, ∞)

---------------------------

d) Miejsca zerowe:

Δ=144

√Δ=12

x₁=[-8-12]/-4=-20/-4=5

x₂=[-8+12]/-4=4/-4=-1

---------------------------

e) Postać iloczynowa:

y=-2(x-5)(x+1)