Question

1. Wykaż, że nie istnieje kąt alfa, a także sin alfa = 2/3 i cos alfa = 4/5

2. Znajdź miarę kąta ostrego x, dla którego jest spełniony warunek

pierwiastek z 3 + sin x / pierwiastek z 3 = cos x + 1

3. Przekątna prostokątna jest nachylona do dłuższego boku pod kątem alfa, takim, że sin alfa = 2/3. Przekątna jest dłuższa od szerokości prostokąta o 2. Oblicz tg alfa

4. Wykaż, że gdy alfa i beta są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego to

sin alfa + sin beta / cos alfa + cos beta = 1

Answer 1

z.1

 sin alfa = 2/3

cos alfa = 4/5

więc

sin^2 alfa + cos^2 alfa = (2/3)^2 + (4/5)^2 = 4/9 + 16/25 = 100/225 + 144/225 = 244/225 > 1

sprzeczność, zatem nie istnieje taki kąt o mierze alfa.

==============================================

z.2

[ p(3) + sin x ] / p(3) = cos x + 1  / * p(3)

p(3) + sin x = p(3)*cos x + p(3)

sin x = p(3)*cos x    / * cos x

tg x = p(3)

x = pi/3  = 60 stopni

=================

p(3)  - pierwiastek kwadratowy z  3

---------------------------------------------------------

z.3

a - długość prostokąta

b - szerokość prostokąta

p  - długość  przekątnej

Mamy

sin alfa = b / p = 2/ 3  => 3 b = 2 p   =>  p = 1,5 b

p = b + 2

zatem

b + 2 = 1,5 b

2 = 0,5 b   / * 2

b = 4

=====

p = 1,5 *4 = 6

================

a^2 + b^2 = p^2   =>  a^2 = p^2 - b^2 = 6^2 - 4^2 = 36 - 16 = 20 = 4*5

więc

a = 2 p(5)

oraz

tg alfa  =  b / a = 4 / 2p(5) = 2/ p(5) = 0,4 p(5)

=====================================

p(5)  - pierwiastek kwadratowy z 5

--------------------------------------------------------------------------------------------

z.4

 a, b - długości przyprostokątnych trójkąta prostokątnego

c - długość przeciwprostokątnej

Mamy

sin alfa = b/ c , sin beta = a/ c

cos alfa =  a/ c ,  cos beta = b / c

zatem

sin alfa + sin beta = b/c + a / c = ( b + a) / c = ( a + b) / c

oraz

cos alfa + cos beta = a/ c + b/ c = ( a + b) / c

dlatego

 ( sin alfa  + sin beta) / ( cos alfa + cos beta) = [ ( a + b) / c]  [ (a + b)/ c ]  = 1

ckd.

=========