Question

Ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a, b+3, c+13) jest geometryczny.
Oblicz a, b i c.

Answer 1

A+b+c= 33
a=33-b-c
a+c/2 = b własność ciągu arytmetycznego
(33-b-c + c) /2 =b wykonujemy działanie w liczniku
(33-b) /2 =b /×2
33-b= 2b
33=3b /÷3
11=b

a, b+3 , c+13 =>geo.

korzystamy z własności ciągu geometrycznego:
jeśli a, b, c to b= √a×c ( całość jest pod pierwiastkiem)
11+3= √(33-11-c)×(c+13)
14= √33c-11c - c²+ 429-143-13c / ²
14²= -c² + 9c + 286
196= -c² + 9c + 286
c²- 9c - 286 +196 =0
c²- 9c - 90 =0
rozwiązujemy równ. kwadratowe:
Δ=81-4×1(-90)
Δ=81+360
Δ=441
√Δ=21
powstają dwa rozwiązania:
c₁=9+21/2=9
c₂=9-21/2=-6

więc "a" też są 2 rozwiązania"
a=33-b-c
a₁=33-11-9=13
a₂=33-11-(-6)=28

więc rozwiązanie wygląda tak:
a, b, c
13, 11, 9
28, 11, -6

Answer 2

Ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a, b+3, c+13) jest geometryczny.
Oblicz a, b i c.

a
b=a+r
c=a+2r

a+b+c= 33
a+a+r+a+2r=33
3a+3r=33
a+r=11 -czyli b=11
a=11-r


a, b+3, c+13
b=11

a,11+3,c+13
a,14,c+13 -c.geometr.

14/a=(c+13)/14
14²=a(c+13)
196=a(c+13)

c=a+2r
c=11-r+2r=11+r
196=(11-r)(11+r+13)
196=(11-r)(24+r)
196=264+11r-24r-r²
r²+13r+196-264=0
r²+13r-68=0
Δ=169-4*(-68)=169+272=441
√Δ=21
r₁=(-13-21)/2=-34/2=-17
r₂=(-13+21)/2=8/2=4

Zatem
dla r₁=-17

a₁=11-r=11-(-17)=11+17=28
b₁=11
c₁=11+r=11+(-17)=11-17=-6

dla r₂=4
a₂=11-r=11-4=7
b₂=11
c₂=11+r=11+4=15