Question

Blagam o pomoc potrzeba na jutro

Rozwiąż nierowności wielomianowe:

a)(x^2+3x+2)(2x^2+7x-4)(9x^2)>0

b)(3x^2-5x+2)(5-2x)(x^2+1)>0

c)-x^2)(x^2+4)(x^2+x+1)(x^2-x-3)≤0

proszee dam najj jak najszybcie i wyjaśnienie

Answer 1

Nierówności wielomianowe rozwiązujemy w natępujący sposób:

- rozwiązujemy równanie wielomianowe

- rozkładamy wielomian na czynniki

- odczytujemy pierwiastki (miejsca zerowe)

- ustalamy krotność pierwiastków

- ustalamy znak współczynnika kierunkowego

- zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej

- rysujemy przybliżony wykres: zaczynamy rysować z zawsze prawej strony, jeżeli a > 0 to od góry, jeżeli a < 0 to od dołu. Jeżeli miejsce zerowe jest nieparzystokrotne (1, 3, 5 ...) to wykres przecina oś Ox, jeżeli miejsce zerowe jest parzystokrotne (2, 4, 6 ....) to wykres styka się z osią Ox

- odczytujemy z wykresu zbiór rozwiązań

 

a)

(x² + 3x + 2)(2x² + 7x - 4)(9x²) > 0

 

(x² + 3x + 2)(2x² + 7x - 4)(9x²) = 0

x² + 3x + 2 = 0 v 2x² + 7x - 4 = 0 v 9x² = 0

 

x² + 3x + 2 = 0

Δ = 9 - 8 = 1; √Δ = 1

x₁ = (-3-1) : 2 = -4 : 2 = - 2 (1 - krotny)

x₂ = (-3+1) : 2 = -2 : 2 = - 1 (1 - krotny)

 

2x² + 7x - 4 = 0

Δ = 49 + 32 = 81; √Δ = 9

x₃ = (-7-9) : 4 = -16 : 4 = - 4 (1 - krotny)

x₄ = (-7+9) : 4 = 2 : 4 = ½ (1 - krotny)

 

9x² = 0

x₅ = 0 (2- krotny)

 

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres od góry, bo a > 0 (patrz załącznik) i z wykresu odczytujemy rozwiązanie:

x ∈ (-∞; -4) u (- 2; - 1) u (½; ∞)

 

b)

(3x² - 5x + 2)(5 - 2x)(x² + 1) > 0

(3x² - 5x + 2)(5 - 2x)(x² + 1) = 0

3x² - 5x + 2 = 0 v 5 - 2x = 0 v x² + 1 = 0

 

3x² - 5x + 2 = 0

Δ = 25 - 24 = 1; √Δ = 1

x₁ = (5-1) : 6 = 4 : 6 = ⁴/₆ = ⅔ (1 - krotny)

x₂ = (5+1) : 6 = 6 : 6 = 1 (1 - krotny)

 

5 - 2x = 0

-2x = - 5 /: (-2)

x₃ = 2½ (1 - krotny)

 

x² + 1 = 0

Δ = 0 - 4 = - 4 < 0, nie ma rozwiązań

 

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres od dołu, bo a < 0 (patrz załącznik) i z wykresu odczytujemy rozwiązanie:

x ∈ (-∞; ⅔) u (1; 2½)

 

c)

- x²(x² + 4)(x² + x + 1)(x² - x - 3) ≤ 0

- x²(x² + 4)(x² + x + 1)(x² - x - 3) = 0

- x² = 0 v x² + 4 = 0 v x² + x + 1 = 0 v x² - x - 3 = 0

 

- x² = 0

x₁ = 0 (2 - krotny)

 

x² + 4 = 0

Δ = 0 - 16 < 0, nie ma rozwiązań

 

x² + x + 1 = 0

Δ = 1 - 4 = - 3 < 0, nie ma rozwiązań

 

x² - x - 3 = 0

Δ = 1 + 12 = 13; √Δ = √13

 

Zaznaczamy pierwiastki na osi i rysujemy przybliżony wykres od dołu, bo a < 0 (patrz załącznik) i z wykresu odczytujemy rozwiązanie: