Question

adania dla matematyków z funkcji kwadratowej mianowicie wartość największa i najmniejsza .



Zadanie 1.

Wyznacz współczynnik fukncji y = ax^2 + bx + c wiedząc że, dlax = 2 osiąga ona wartość najmniejszą równą 2 oraz ze jej wykres przechodzi przez punkt (4,6)



Zadanie 2.

Wyznacz współczynnik funkcji y = ax^2 +bx + c , wiedząc że osiąga ona wartość największą dla x = 3 oraz że jej wykres przechodzi przez punkty (0,0) i (4,16)



Zadanie 3.



Funkcja kwadratowa y= ax^2 + bx + c ma jedno miejsce zerowe x = 1 a jej wykres przecina oś y w punkcie (0,-5). Oblicz współczynniki a , b , c .



Zadanie 4.

Wykresem funkcji kwadratowej y = 0,5x^2 + bx + c jest parabola o wierzchołku W = (- 4 , -1) Oblicz b i c.





Pozdrawiam.

Answer 1

ad.1.

wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku. Z treści zadania wynika, że W=(2;2)

można skorzystać z postaci kanonicznej trójmianu kwadratowego y=a(x-p)^2+q 
czyli y=a(x-2)^2+2

wykraes przechodzi przez punkt(4,6), więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji, czyli: 6=a(4-2)^2+2

6=a(2)^2+2

6=4a+2

6-2=4a

4=4a/:4

a=1

czyli funkcja ma postać y=1(x-2)^2+2 doprowadzamy ja do posatci ogólnej:

y=1(x^2-4x+4)+2

y=x^2-4x+4+2

y=x^2-4x+6

co daje nam a=1, b=-4, c=6

ad.2.

funkcja osiąga wartość największa dla x=3, czyli p =3

p=-b/2a

-b/2a=3   /2a

-b=6a

b=-6a

funkcja przechodzi przez punkty (0,0) i (4,16), co oznacza, że ich współrzędne spełniają wzór funkcji

y=ax^2+bx+c

czyli 0=a*0^2+b*0+c

0=c

oraz 16=a*4^2+b*4+c

16=16a+4b+c 

korzystając z danych wyliczonych wcześniej mamy: 16=16a+4b+0

16=16a+4b

16=16a+4(-6a)

16=16a-24a

16=-8a/:(-8)

a=-2

 czyli b=-6(-2)

b=12

odp. a=-2, b=12, c=0

ad.3.

y=ax^2+bx+c

funkcja ma jedno miejsce zerowe x=1, co oznacza, że zapisana w postaci iloczynowej wyglada tak: y=a(x-1)^2

przechodzi przez punkt(0,-5), czyli jego współrzędne spełniają wzór tej funkcji

-5=a(0-1)^2

-5=a*1

a=-5

czyli y=-5(x-1)^2 doprowadzamy funkcję do postaci ogólnej

y=-5(x^2-2x+1)

y=-5x^2+10x-5

ad.4.

y = 0,5x^2 + bx + c

zapisana w postaci kanonicznej wygląda następująco:

y = 0,5(x-p)^2+q

czyli y = 0,5(x-(-4))^2+(-1)

y = 0,5(x+4)^2-1

y = 0,5(x^2+8x+16)-1

y = 0,5x^2+4x+8-1

y = 0,5x^2+4x+7

odp. b=4, c=7

4 , -1) Oblicz b i c.