Question

Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R=5√2, wiedząc ponadto, że jedna przekątna tego czworokąta ma miarę 10, zaś iloczyn wszystkich jego sinusów jest równy 3/8.


ze wszystkimi obliczeniami

Answer 1

Zrób rysunek: dowolny czworokąt wpisany w okrąg. oznacz miary kątów jako kolejno α,β,180-α,180-β. Poprowadź przekątną tego czworokąta między wierzchołkami α oraz 180-α.
Teraz twierdzenie sinusów:
10/sinα=2R
10/sinα=10√2
sinα=1/√2=√2/2
z tego wniosek α=45
180-α=135

sinα*sin(180-α)*sinβ*sin(180-β)=3/8
po zastosowaniu wzorów redukcyjnych:
sinα*sinα*sinβ*sinβ=3/8 oraz sinα=√2/2
√2/2*√2/2*sin²β=3/8
1/2sin²β=3/8
sin²β=3/4
sinβ=√3/2
czyli β=60
180-β=120

ODP: Kąty tego trójkąta to 45*,60*,120* oraz 135*. pozdrawiam :)