Question

Wykaż że dla każdego całkowitego x wielomian
W(x)= 1/24x⁴+ 1/4x³ + 11/24x²+ 1/4x jest liczbą całkowitą

Answer 1

Rozlozmy W na czynniki:
W(x)=(1/(24))x(x³+6x²+11x+6) =...
zauwazamy, ze pierwiastkiem wielomianu w nawiasie jest liczba -1, jest on wiec podzielny przez (x+1). Po podzieleniu otrzymujemy:

...= (1/(24))x(x+1)(x²+5x+6) =...

Rozkladajac ostatni wielomian w nawiasie delta dostajemy

...= (1/(24))x(x+1)(x+2)(x+3)

Jesli x jest liczba dowolna calkowita, to wyrazenie
x(x+1)(x+2)(x+3) jest iloczynem czterech kolejnych liczb calkowitych, jest zatem podzielne przez 24, co znacza, ze
(1/(24))x(x+1)(x+2)(x+3) jest liczba calkowita.