8 zadań z twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych Zadania w załącznikach.... Question from @Ethayer

December 2018 1 77 Report

8 zadań z twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych

Zadania w załącznikach

ghe 1.
$x^2+(\sqrt{17}-4)^2=(\sqrt{17}+4)^2$

$x^2+17-8\sqrt{17}+16=17+8\sqrt{17}+16$

$x^2=17+8\sqrt{17}+16-17+8\sqrt{17}-16$

$x^2=16\sqrt{17}$

$x=\sqrt{16\sqrt{17}}$

$x=4\sqrt[4]{17}$
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2.
$a=6$

$c=2\sqrt{13}$

Obliczam $b$
$a^2+b^2=c^2$

$6^2+b^2=(2\sqrt{13})^2$

$36+b^2=52$

$b^2=52-36$

$b^2=16$

$b=\sqrt{16}$

$b=4$
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3.
$2\sqrt2-2<\sqrt6<4-\sqrt2$

$a=2\sqrt2-2$

$b=\sqrt6$

$c=4-\sqrt2$

$a+2+b^2=c^2$

$(2\sqrt2-2)^2+(\sqrt6)^2=(4-\sqrt2)^2$

$8-8\sqrt2+4+6=16-8\sqrt2+2$

$18-8\sqrt2=18-8\sqrt2$

Trójkąt jest prostokątny
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4.
$a$ - bok kwadratu

$a\sqrt2$ - przekątna kwadratu

Obliczam $a$
$a\sqrt2-a=2$

$a(\sqrt2-1)=2\ /:(\sqrt2-1)$

$a=\frac{2}{\sqrt2-1}$

$a=\frac{2(\sqrt2+1)}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}$

$a=\frac{2(\sqrt2+1)}{2-1}$

$a=\frac{2(\sqrt2+1)}{1}$

$a=2(\sqrt2+1)$

Obliczam pole
$P=a^2$

$P=[2(\sqrt2+1)]^2$

$P=4(2+2\sqrt2+1)$

$P=4(2\sqrt2+3)$
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5.
$a=8$

$c=17$

Obliczam $b$
$a^2+b^2=c^2$

$8^2+b^2=17^2$

$64+b^2=289$

$b^2=289-64$

$b^2=225$

$b=\sqrt{225}$

$b=15$

$sin\alpha=cos\beta=\frac{a}{c}=\frac{8}{17}$

$cos\alpha=sin\beta=\frac{b}{c}=\frac{15}{17}$

$tg\alpha=ctg\beta=\frac{a}{b}=\frac{8}{15}$

$ctg\alpha=tg\beta=\frac{b}{a}=\frac{15}{8}$
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6.
$a=3\sqrt6$

$c=6\sqrt3$

Obliczam $\alpha$
$sin\alpha=\frac{a}{c}$

$sin\alpha=\frac{3\sqrt6}{6\sqrt3}$

$sin\alpha=\frac{\sqrt6}{2\sqrt3}$

$sin\alpha=\frac{\sqrt6\cdot\sqrt3}{2\sqrt3\cdot\sqrt3}$

$sin\alpha=\frac{\sqrt{18}}{2\cdot3}$

$sin\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{2\cdot3}$

$sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\alpha=45^o$

Obliczam $\beta$
$\beta=90^o-\alpha$

$\beta=90^o-45^o$

$\beta=45^o$
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7.
$\frac{2sin(\alpha+15^o)-2cos2\alpha}{tg^2\alpha-\frac{1}{tg(2\alpha-15^o)}}=$

$\frac{2sin(30^o+15^o)-2cos(2 \cdot 30^o)}{tg^230^o-\frac{1}{tg(2 \cdot 30^o-15^o)}}=$

$\frac{2sin45^o-2cos60^o}{(tg30^o)^2-\frac{1}{tg(60^o-15^o)}}=$

$\frac{2 \cdot \frac{ \sqrt{2} }{2} -2 \cdot \frac{1}{2} }{\left( \frac{ \sqrt{3} }{3} \right) ^2-\frac{1}{tg45^o}}=\frac{\sqrt{2} -1}{\frac{3}{9}-\frac{1}{1}}=$

$\frac{\sqrt{2} -1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{\sqrt{2} -1}{-\frac{2}{3}}=$

$-\frac{3(\sqrt{2} -1)}{2}=\frac{3(1-\sqrt{2})}{2}$
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8.
8.
Musimy sprawdzić czy kąt $\alpha$ jest mniejszym czy większym kątem ostrym trójkąta
Obliczam $b$
$sin\alpha=\frac{a'}{c'}$

$\frac{a'}{c'}=\frac{2}{3}$

$a'^2+b'^2=c'^2$

$2^2+b'^2=3^2$

$4+b'^2=9$

$b'^2=9-4$

$b'^2=5$

$b'=\sqrt{5}>a'$

Kąt $\alpha$ leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej
$a=2\sqrt3$

Obliczam $c$
$sin\alpha=\frac{a}{c}$

$\frac{2\sqrt3}{c}=\frac{2}{3}$

$2c=6 \sqrt{3} \ /:2$

$c=3 \sqrt{3}$

Obliczam $b$
$a^2+b^2=c^2$

$(2\sqrt3)^2+b^2=(3 \sqrt{3})^2$

$12+b^2=27$

$b^2=27-12$

$b^2=15$

$b=\sqrt{15}$

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