Question

Pole koła ograniczonego okręgiem opisanym na podstawie ostrosłupa czworokątnego prawidłowego jest równe 6pi. Cosinus kąta między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa jest równe 4/7. Oblicz objętość ostrosłupa.

[odp. to 4pierw. z 22]

Answer 1

Pk = 6 pi

czyli

pi r^2 = 6 pi

r^2 = 6

r = p(6)

d = 2 r  = 2 * p(6) = 2 p(6)  - długośc przekatnej kwadratu

Pp - pole kwadratu

Pp = 0,5 d^2 = 0,5 *[ 2 p(6)]^2 = 0,5 *4*6 = 12

====================================

b  - długość krawędzi bocznej ostrosłupa

 

cos beta = 4/7

ale beta = 2 alfa

więc

cos 2 alfa = 1 - 2 sin^2 alfa = 4/7

2 sin^2 alfa = 7/7 - 4/7 = 3/7   / : 2

sin^2 alfa = 3/14

sin alfa = p( 3/14)

---------------------------

h - wysokośc ostrosłupa

Mamy

r / b = sin alfa

p(6) / b = p(3/14)

p(6) = b *p(3/14)

b = p(6) : p(3/14) = p(6) * p( 14/3) = p( 28) = p(4*7) = 2 p(7)

Z tw. Pitagorasa mamy

h^2 + r^2 = b^2

czyli

h^2 = [ 2 p(7)]^2 - [ p(6) ]^2 = 4*7 - 6 = 22

h = p(22)

==========

Objętość ostrosłupa

V = (1/3) Pp *h  = (1/3) * 12 * p(22) = 4 p(22)

====================================

p(7) - pierwiastek kwadratowy z 7

p(22) - pierwiastek kwadratowy z 22, itp.