Question

Rozwiąż równanie 2 ^ (-2sin^2 2x+sin2x) = 1/2, x należy <0,2pi>.

No i tak, rozumiem to:

2 ^ (-2sin^2 2x+sin2x) = 2^-1

-2sin^2 2x+sin2x = -1

No i tyle :) Bo teraz zastępuję niby to sinx=t , ale równanie będzie -2t^2+t+1=0, ale jak to możliwe, że chociażby z -2sin^2, przy podmianie sinx=t powstaje -2t^2, przecież tu podmieniam sin^2 2x? Poza tym dlaczego przedział t jest <-1;1>? Potem już samo liczenie delty rozumiem, gdzie wychodzi mi t1=1 i t2= -1/2. Ale później mam wyznaczyć rozwiązania w postaci 2x=pi/2 + 2kpi lub 2x=7pi/6 +2 kpi lub 2x=11pi/6+2kpi i wyznaczyć rozwiązania równania w danym przedziale, pewnie mam to zrobić z funkcji sinus, ale... Jak to odczytywać? Z tych wzorów redukcyjnych... Ale jak? Proszę mi wytłumaczyć bardzo, bardzo łopatologicznie.

Pozdrawiam.

Answer 1

Po części dobrze to zadanie zrozumiałeś, ale nie do końca ;)

Zaczynamy od 2^(-2sin^2 2x + sin2x)=2^-1

Podstawienie sin2x=t

Wychodzi nam 2^-2t^2+t=2^-1

Korzystamy z funkcji różnowartościowej: -2t^2+t=-1

Delta równa 9 to t1=1 t2=-1/2

Wracamy do podstawienia: sin2x=1 v sin2x=-1/2
Liczysz okres: sin(2x+2pi)=sin2(x+pi), czyli okres masz pi.

Rysujesz wykres sin2x od 0 do 2pi i znajdujesz na nim rozwiązania.

Jak już znajdziesz rozwiązania to postać ogólną w taki sposób, że do każdego rozwiązania dodajesz okres, czyli w tym przypadku kpi, k należy do Całkowitych.