Question

Wyznacz liczbę x tak, aby ciąg ( cos x, cos^{2} x, cos 2 /pi) był ciągiem arytmetycznym.

No i tak, doszłam to tego, że wyznaczyłam cox=1 i cosx= -1/2 . Z tego pierwzego wyznaczyłam x, ale to drugie... Trzeba skorzystać ze wzorów redukcyjnych. Ale skąd mam wiedzieć, że muszę z tego czy tego? Proszę o pomoc z tym elementem zadania z łopatologicznym wytłumaczeniem ( ma wyjść 2pi/3 + 2k pi oraz 4pi/3 + 2k pi)/

Answer 1

niekoniecznie ze wzorów redukcyjnych...

ja polecam metodę odczytywania rozwiązań z wykresów funkcji trygonometrycznych i korzystając z ich podstawowych własności, np. funkcja cos x jest parzysta, poszczególne fragmenty wykresu są symetryczne, więc jeśli znamy rozwiązanie cos x=1/2, to możemy wywnioskować też cos x=-1/2

 

patrząc na wykres i oznaczenia (rys w pliku) szukamy takiej wartości kąta, która jest równa 1/2 pi +x' lub 3/2 pi - x', dla tych dwóch kątów cosx=-1/2.

obliczmy więc x'

1/3 pi+x'=1/2 pi

x'=1/2 pi -1/3 pi

x'=1/6 pi

teraz wystarczy do 1/2 pi +1/6 pi=4/6 pi=2/3 pi lub druga możliwość 3/2 pi -1/6 pi=8/6 pi=4/3 pi

 

ostatecznie możemy zapisać dwie serie rozwiązań równania cosx=-1/2

mianowicie:

x=2/3 pi + 2k pi oraz  x=4/3 pi + 2k pi

 

oczywiście 2k pi to okres podstawowy funkcji cosinus, co oznacza, że właśnie co taką wartość dany fragment wykresu się powtarza

 

przepraszam, za dopiski na wykresie, ale nie cierpię Painta, a nie wiem gdzie mogłabym to zrobić lepiej:)

Przeanalizuj dobrze wykres. Jeśli będziesz mieć pytania, postaram się odpowiedzieć:)

powodzenia:)