Proszę o rozwiązanie każdego zadania - mają byc dołączone rozwiązania, nie chccę samych odp, mają byc rozwiązane krok po kroku. Prosze też o wytłumaczenie, jak sie te zadania rozwiązuję, zebym umiałą podobne zrobic już sama ;)
1) Proste o równaniach y= 2x + 3 oraz y= -1/3x + 2
a) są równoległę
b)są prostopadłe
c)przecinają się pod katem innym niż prosty
d) pokrywają się
2) Wykres funkcji kiwadratowej f(x)= (x-3)^2 - 2 nie ma pkt wspólnych z prostą o równaniu
a) y= - 3
b) y= -1
c) y=1
d) y=3
3) Do wykresu funkcji f(x)= x^2 + x-2 należy pkt
a) (-1,-4)
b) (-1,1)
c) (-1,1)
d) (-1,-2)
4) Wskaz równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y= -x^2 + 4x - 11
5) Wskaż funkcję kwadatową, której zbiorem wartosci jest przedział (-nieskończonosci,3>
a) f(x)= - (x-2)^2 + 3
b) f(x)= (2 - x)^2 + 3
c) f(x)= - (x+2)^2 - 3
d) f(x)= (2-x)^2 - 3
6) Wykres funkcji kwadratowej f(x)= 3(x+1)^2 - 4 nie ma pkt wspólnych z prostą o równaniu:
a) y=1
b) y= -1
c)y= -3
d) y= - 5
7) Prosta o równaniu y=a ma dokłądnie jeden pkt wspólony z wykresem funjkcji kwadartowej f(x)= -x^2 + 6x - 10. Wynika stad, że
a) a=3
b) a= O
c) a=1
d) a= -3
8)O funkcji liniowej wiadomo, że f(1)=2 oraz, że do wykresu tej funkcji należy pkt P=(-2, 3). Wyznacz wzór funkcji f
1)
y = 2x + 3 ⇒ a = 2
y = -⅓x + 2 ⇒ a = -⅓
Dwie proste są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy.
2 ≠ -⅓ , czyli proste nie są równoległe i nie pokrywają się
Dwie proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy - 1.
2 · (-⅓) = - ⅔ ≠ - 1, czyli proste nie są prostopadłe
Zatem proste y = 2x + 3 i y = -⅓x + 2 przecinają się pod katem innym niż prosty
Odp. c
2)
f(x)= (x-3)² - 2
Jest to zapis funkcji w postaci kanonicznej f(x) = a·(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Zbiorem wartości ZW funkcji kwadratowej:
- dla a > 0 jest przedział: y ∈ <q; + ∞)
- dla a < 0 jest przedział: y ∈ (- ∞; q>
f(x)= (x - 3)² - 2
Zatem: a = 1 > 0, p = 3; q = - 2
ZW = {y: y ∈ <- 2; + ∞)}
a) - 3 ∉ <- 2; + ∞)
b) - 1 ∈ <- 2; + ∞)
c) 1 ∈ <- 2; + ∞)
d) 3 ∈ <- 2; + ∞)
Do zbioru wartości funkcji f(x) nie należy - 3, zatem prosta y = - 3 nie ma punktów wspólnych z parabolą y = (x-3)² - 2
Odp. a
3)
f(x)= x² + x - 2
Wykres funkcji f(x) ma równanie y = x² + x - 2.
Jeśli punkt należy do wykresu funkcji to jego współrzędne spełniają równanie tego wykresu.
x = - 1 ⇒ y = (- 1)² - 1 - 2 = 1 - 1 - 2 = - 2
a) y = - 4 ≠ - 2, czyli (- 1, - 4) ∉ y = x² + x - 2
b) y = 1 ≠ - 2, czyli (- 1, 1) ∉ y = x² + x - 2
c) y = 1 ≠ - 2, czyli (- 1, 1) ∉ y = x² + x - 2
d) y = -2, czyli (- 1, - 2) ∈ y = x² + x - 2
Odp. d
4)
y= -x² + 4x - 11
Osią symetrii paraboli jest prosta o równaniu x = p, gdzie p jest pierwszą współrzędną wierzchołka tej paraboli i
a = - 1, b = 4, c = - 11
Zatem oś symetrii paraboli y= -x² + 4x - 11 ma równanie x = 2.
5)
ZW = (-∞, 3>
Zbiorem wartości ZW funkcji kwadratowej:
- dla a > 0 jest przedział: y ∈ <q; + ∞)
- dla a < 0 jest przedział: y ∈ (- ∞; q>
ZW = (-∞, 3> ⇒ a < 0 i q = 3
a) f(x)= - (x - 2)² + 3 ⇒ a = - 1 < 0, q = 3
b) f(x)= (2 - x)² + 3 = (x - 2)² + 3 ⇒ a = 1 > 0, q = 3
c) f(x) = - (x + 2)² - 3 ⇒ a = - 1 < 0, q = - 3
d) f(x) = (2 - x)² - 3 = (x - 2)² - 3 ⇒ a = 1 > 0, q = - 3
Zatem zbiór (-∞, 3> jest zbiorem wartości funkcji f(x)= - (x - 2)² + 3.
Odp. a
6)
f(x)= 3(x + 1)² - 4
Jest to zapis funkcji w postaci kanonicznej f(x) = a·(x - p)² + q, gdzie p i q to współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Zbiorem wartości ZW funkcji kwadratowej:
- dla a > 0 jest przedział: y ∈ <q; + ∞)
- dla a < 0 jest przedział: y ∈ (- ∞; q>
f(x)= 3(x + 1)² - 4
Zatem: a = 3 > 0, p = - 1; q = - 4
ZW = {y: y ∈ <- 4; + ∞)}
a) y = 1 ∈ <- 4; + ∞)
b) y = - 1 ∈ <- 4; + ∞)
c) y = -3 ∈ <- 4; + ∞)
d) y = 5 ∉ <- 4; + ∞)
Do zbioru wartości funkcji f(x) nie należy - 5, zatem prosta y = - 5 nie ma punktów wspólnych z parabolą y = 3(x + 1)² - 4
Odp. d
7)
Z wykresem funkcji kwadartowej f(x)= - x² + 6x - 10 dokładnie jeden punkt wspólny ma prosta y = a, gdy a = q, gdzie q to druga wspólrzędna wierzchołka paraboli i
f(x)= - x² + 6x - 10
Δ = 6² - 4 · (- 1) · (- 10) = 36 - 40 = - 4
Zatem prosta y = - 1 ma jeden punkt wspólny z parabolą y = - x² + 6x - 10, czyli
a = - 1
Wśród podanych odpowiedzi nie ma takiej liczby, więc jest jakiś błąd
8)
f(x) - funkcja liniowa, więc f(x) = ax + b i jej wykresem jest prosta o równaniu y = ax + b
f(1) = 2
Stąd:
a · 1 + b = 2
a + b = 2
P = (- 2, 3) ∈ y = ax + b
Stąd:
3 = a · (- 2) + b
3 = - 2a + b
- 2a + b = 3
Zatem:
{a + b = 2 |· 2
{ - 2a + b = 3
{2a + 2b = 4
{- 2a + b = 3
__________
3b = 7 /:3
b = ⁷/₃ = 2⅓
a + b = 2
a + 2⅓ = 2
a = 2 - 2⅓
a = - ⅓
{a = - ⅓
{b = 2⅓
Zatem funkcja f ma wzór: f(x) = - ⅓x + 2⅓