1) Udowodnij, ze iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 16, czyli 1*2*3....*16 jest podzielny przez 2^15
2) Dwie szkoły mają prostokątne boiska. Przekątna każdego boiska jest równa 65 m. Boisko w drugiej szkole ma długośc o 4 m większą niż w boisko w pierwszej szkole, ale szerokosc o 8 mniejszą. Oblicz długośc i szerokośc każdego z tych boisk.
3) Ile jest liczb pięciocyfrowych spełniajacych jednocześnie następujace cztery wyniki
(1) cyfry setek, dziesiątek i jedności są parzyste
(2) cyfra setek jest wieksza od cyfry dziesiątek
(3) cyfra dziesiątek jest większa od cyfry jedności
(4) w zapisie tej liczby nie występuję cyfra 9
4) Dane sa dwa pudełka: czerwone i niebieskie. W każdym z tych pudełek znajduje się 10 kul ponumerowanych liczbami od 1 do 10. Z każdego pudełka losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy do numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
^ - potęga
Zad. 1
2¹⁵ | 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16, czyli iloczyn liczb naturalnych od 1 do 16 jest podzielny przez 15 potęgę liczby 2
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16 = 1 · 2¹ · 3 · 2² · 5 · 2¹ · 3 · 7 · 2³ · 9 · 2¹ · 5 · 11 · 2² · 3 · 13 · 2¹ · 7 · 15 · 2⁴ = 2¹⁺²⁺¹⁺³⁺¹⁺²⁺¹⁺⁴ · 1 · 3 · 5 · 3 · 7 · 9 · 5 · 11 · 3 · 13 · 7 · 15 = 2¹⁵ · 1 · 3 · 5 · 3 · 7 · 9 · 5 · 11 · 3 · 13 · 7 · 15
Stąd:
(1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 · 14 · 15 · 16) : 2¹⁵ = (2¹⁵ · 1 · 3 · 5 · 3 · 7 · 9 · 5 · 11 · 3 · 13 · 7 · 15) : 2¹⁵ = 1 · 3 · 5 · 3 · 7 · 9 · 5 · 11 · 3 · 13 · 7 · 15
Zatem:
2¹⁵ | 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12·13·14·15·16
Zad. 2
a; b - wymiary pierwszego boiska
zatem na podstawie tw. Pitagorasa otrzymujemy:
a² + b² = 65²
a² + b² = 4225
a + 4; b - 8 - wymiary drugiego boiska
zatem na podstawie tw. Pitagorasa otrzymujemy:
(a + 4)² + (b - 8)² = 65²
a² + 8a + 16 + b² - 16b + 64 = 4225
a² + 8a + b² - 16b + 80 = 4225
a² + 8a + b² - 16b = 4225 - 80
a² + b² + 8a - 16b = 4145
{a² + b² = 4225
{a² + b² + 8a - 16b = 4145
{a² + b² = 4225
{a² + b² = 4145 - 8a + 16b
{a² + b² = 4225
{4225 = 4145 - 8a + 16b
{a² + b² = 4225
{8a = 4145 + 16b - 4225
{a² + b² = 4225
{8a = 16b - 80 /:8
{a² + b² = 4225
{a = 2b - 10
{(2b - 10)² + b² = 4225
{a = 2b - 10
Rozwiążemy pierwsze równanie układu:
(2b - 10)² + b² = 4225
4b² - 40b + 100 + b² - 4225 = 0
5b² - 40b - 4125 = 0 /:5
b² - 8b - 825 = 0
Δ = (- 8)² - 4 · 1 · (- 825) = 64 + 3300 = 3364
√Δ = √3364 = 58
b₁ = (8 - 58) / (2 · 1) = - 50 / 2 = - 25 ∉ R₊
b₂ = (8 + 58) / (2 · 1) = 66 / 2 = 33 ∈ R₊
Zatem: b = 33
a = 2b - 10
a = 2·33 - 10
a = 66 - 10
a = 56
{a = 56
{b = 33
{a + 4 = 56 + 4 = 60
{b - 8 = 33 - 8 = 25
Odp. Wymiary boisk wynoszą: 56 m × 33 m i 60 m × 25 m.
Zad. 3
Liczby zapisujemy za pomocą cyfr od 0 do 9.
Pierwszą cyfrę pięciocyfrowej liczby możemy wybrać na 8 sposobów, bo nie może być cyfrą 9 (4 warunek zadania) oraz zerem (na początku liczby nie ma cyfry 0).
Drugą cyfrę (cyfrę tysięcy) możemy wybrać na 9 sposobów, bo nie może być cyfrą 9.
Trzy pozostałe cyfry możemy wybrać na 10 sposobów, bo zgodnie z warunkami zadania muszą to być trzy różne liczby parzyste wybrane z ze zbioru {0; 2; 4; 6; 8}, czyli możemy je wybrać na tyle sposobów ile jest 3-elementowych kombinacji zbioru 5-elementowego:
Zatem wszystkich liczb pięciocyfrowych, zgodnie z regułą mnożenia, spełniających warunki zadania jest:
8 · 9 · 10 = 720
Odp. Liczb pięciocyfrowych spełniających warunki zadania jest 720.
Zad. 4
Liczba zadrzeń elementarnych wynosi: |Ω| = 10 · 10 = 100
A - numer kuli wylosowanej z czerwonego pudełka jest mniejszy do numeru kuli wylosowanej z niebieskiego pudełka.
Obliczymy ile zdarzeń sprzyja zdarzeniu A:
- jeśli z niebieskiego pudełka wyciągniemy 1, to liczba zadrzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi 0, bo obojętnie jaką liczbę wyciagniemy z czerwonego pudełka, żadna z liczb nie będzie mniejsza od 1,
- jeśli z niebieskiego pudełka wyciągniemy 2, to liczba zadrzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi 1, bo tylko wyciągając z czerwonego pudełka liczbę 1 będzie ona mniejsza od 1,
- jeśli z niebieskiego pudełka wyciągniemy 3, to liczba zadrzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi 2, bo wyciagając z czerwonego pudełka liczbę 1 lub będa one mniejsza od 2, itd.
Zatem zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A jest:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
|A| = 45
Odp. Prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi ⁹/₂₀.