Question

zad.1 Jeśli alfa jest kątem ostrym i sin alfa=cos 80stopni to alfa równa się?

zad.2 Jeżeli sin alfa * cos alfa =1/4 ,to (sinalfa+cos alfa )^2 ma wartosc?

zad.3 Jeśli alfa jest katem ostrym i tg alfa = 2 ,to watosc wyrażenia

cos alfa + sin alfa / cos alfa jest równe?

zad.4 Uzasadnij ,że nie istnieje taki kąt ostry alfa ,dla którego sin alfa =3/5 i tg alfa= 4/3

Answer 1

Zad. 1

Korzystamy ze wzorów redukcyjnych, w tym przypadku ze wzoru: [tex] cos(90^0-x)=sinx\\[\tex]

[tex] cos(80^o)=cos(90^o-10^o)=sin(10^o) \\sin\alpha=sin(10^o)\ =>\ \alpha=10^o\\[\tex]

Zad.2

Korzystamy z tzw. jedynki trygonometrycznej, czyli [tex] sin^2x+cos^2x=1 \\[\tex]

[tex] sin \alpha cos \alpha =\frac14 \\(sin\alpha+cos\alpha)^2=sin^2\alpha+2sin\alpha cos\alpha +cos^2\alpha=1+2*\frac14=1\frac12\\ [\tex]

Zad.3

Nie mam pewności, czy cała suma jest w liczniku, czy tylko sinus, więc zakładam, że tylko sinus. Jeżeli jest inaczej, proszę o kontakt - wtedy dopiszę właściwe rozwiązanie.

[tex]Poniewaz\ zachodzi\ tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha},\ wiec\ cos\alpha+\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=cos\alpha+tg\alpha=cos\alpha+2.\\ \frac{sin\alpha}{cos\alpha}=2\ <=>\ sin\alpha=2cos\alpha \\sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\ (2cos\alpha)^2+cos^2\alpha=5cos^2\alpha=1\ =>\ cos^2\alpha=\frac15\\ |cos\alpha|=\frac1{\sqrt5}[\tex]

Kąt jest ostry, więc wybieramy wartość cos bez minusa, tzn. całe wyrażenie ma wartość [tex]2+\frac1{\sqrt5} [\tex]

Zad. 4

Zauważmy, że dla kąta 0<alfa<90 sinus jest funkcją rosnącą. Ponieważ  [tex]sin(45^o)\approx0,7[\tex]  więc wobec 3/5=0,6 musi być alfa<45. Z drugiej jednak strony, dla tego samego przedziału(alfra<90 i alfa>0) tangens jest także funkcją rosnącą i wobec  [tex]tg(45^o)=1\ oraz\ 4/3 \approx 1,33[\tex] musi być alfa>45. Jest to sprzeczne, co dowodzi, że kąt o powyższych własnościach nie istnieje.