Question

3. Z drutu o długości 2m chcemy zbudować model prostopadłościanu, którego podstawa jest kwadratem. Jakie wymiary powinien mieć ten prostopadłościan, aby jego pole powierzchni było największe.

Answer 1

Drut długości 2m = 200cm
krawędź podstawy, która jest kwadratem ma długość a cm
wysokość prostopadłościanu ma długość h cm
mamy 4 krawędzie podstawy dolnej, czyli ich długość 4a cm,
4 krawędzie podstawy górnej, czyli ich długość 4a cm,
i 4 krawędzie boczne, czyli ich długość 4h cm
suma wszystkich krawędzi {w cm} 4a+ 4a+ 4h = 8a+ 4h
czyli 8a+ 4h= 200, stąd wyznaczamy h:
4h= 200- 8a /:4
h= 50- 2a {w cm}
Wyznaczamy pole powierzchni prostopadłościanu:
pole powierzchni podstawy dolnej a²
pole powierzchni podstawy górnej a²
pole powierzchni ściany bocznej ah
pole 4 ścian bocznych 4ah
pole powierzchni całkowitej a²+ a²+ 4ah= 2a²+ 4ah
{za h wstawiamy 50- 2a}
Badamy zależność pola powierzchni całkowitej
od krawędzi podstawy a, by ta powierzchnia była największa:
P(a)= 2a²+ 4ah= 2a²+ 4a*(50- 2a)= 2a²+ 200a - 8a²= -6a²+ 200a
P(a)= -6a²+ 200a
wierzchołek paraboli ma wartość odciętej aw:
aw= ⁻²⁰⁰/(₋₆*₂) = ⁻²⁰⁰/(₋₁₂) = ⁵⁰/₃ = 16⅔
h= 50- 2a = 50- 2*16⅔= 50- 2*⁵⁰/₃= 50 - ¹⁰⁰/₃ = 50 - 33⅓ = 16⅔
krawędź podstawy a= 16⅔cm
wysokość prostopadłościanu h= 16⅔cm
Odp.Aby pole powierzchni tego prostopadłościanu było
największe musi on być sześcianem i mieć wymiary:
krawędź podstawy a= 16⅔cm
i wysokość prostopadłościanu h= 16⅔cm.

Trochę się rozpisałam. Liczę na naj;)