Question

1. Liczby r1 i r2 sa pierwiastkami wielomianu W(x). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu, jeśli:

a) W(x)= x3 - ( a+b)x2 - (a-b)x+3, r1=1, r2=3

2.Wyznacz takie wartości parametrów a i b, aby liczby r1 i r2 były pierwiastkami wielomianu W(x), jeśli:

a) W(x)=x3 + ax2 + bx -9 r1= -1, r2=3

x3- oznacza x do potegi trzeciej

x2 - x do kwadratu

Answer 1

1.

r₁ i r₂ - pierwiastki wielomianu W(x), czyli W(r₁) = 0 i W(r₂) = 0

a) W(x) = x³ - ( a + b)·x² - (a - b)·x + 3,   r₁= 1,  r₂ = 3

W(1) = 1³ - ( a + b)·1² - (a - b)·1 + 3 = 1 - (a + b) - (a - b) + 3 = 1 - a - b - a + b + 3 = - 2a + 4

- 2a + 4 = 0

- 2a = - 4 /:(- 2)

a = 2

 

W(3) = 3³ - ( 2 + b)·3² - (2 - b)·3 + 3 = 27 - (2 + b)·9 - (6 - 3b) + 3 = 27 - (18 + 9b) - 6 + 3b + 3 = 27 - 18 - 9b - 6 + 3b + 3 = - 6b + 6

- 6b + 6 = 0

- 6b = - 6 /:(- 6)

b = 1

 

W(x) = x³ - ( 2 + 1)·x² - (2 - 1)·x + 3 = x³ - 3x² - x + 3

x³ - 3x² - x + 3 = 0

x²·(x - 3) - 1·(x - 3) = 0

(x - 3)(x² - 1) = 0

(x - 3)(x - 1)(x + 1) = 0

x - 3 = 0 lub x - 1 = 0 lub x + 1 = 0

 

x - 3 = 0

x = 3

 

x - 1 = 0

x = 1

 

x + 1 = 0

x = - 1

 

Odp. Trzeci pierwiastek wielomianu W(x) to liczba - 1.

 

2.

r₁ i r₂ - pierwiastki wielomianu W(x), czyli W(r₁) = 0 i W(r₂) = 0

a) W(x) = x³ + ax² + bx - 9     r₁= - 1,  r₂ = 3

W(- 1) = (- 1)³ + a·(- 1)² + b·(- 1) - 9 = - 1 + a - b - 9 = a - b - 10

a - b - 10 = 0

 

W(3) = 3³ + a·3² + b·3 - 9 = 27 + 9a + 3b - 9 = 9a + 3b + 18

9a + 3b + 18 = 0 /:3

3a + b + 6 = 0

 

Stąd:

{a - b - 10 = 0

{3a + b + 6 = 0

____________

4a - 4 = 0

4a = 4 /:4

a = 1

 

3a + b + 6 = 0

3·1 + b + 6 = 0

b + 9 = 0

b = - 9

 

{a = 1

{b = - 9

 

Spr.

W(x) = x³ + ax² + bx - 9

W(x) = x³ + x² - 9x - 9

x³ + x² - 9x - 9 = 0

x²·(x + 1) - 9·(x + 1) = 0

(x + 1)(x² - 9) = 0

(x + 1)(x - 3)(x + 3) = 0

x + 1 = 0 lub x - 3 = 0 lub x + 3 = 0

 

x + 1 = 0

x = - 1

 

x - 3 = 0

x = 3

 

x + 3 = 0

x = - 3

 

Odp. a  = 1, b = - 9