Question

Zbadaj monotoniczność ciągu:

a) an=n/n+4

b) an= 4n+1/3n+1

c) an= n+2/2n+3

Answer 1

a) an=n/n+4

an+1 = (n+1)/n+1+4 = (n+1)/n+5

czyli

an+1 - an = (n+1)/n+5 - n/n+4 = (n+1)(n+4) /(n+5)(n+4) - n(n+5)/(n+4)(n+5)

(n²+4n+n+4)-(n²+5n)/(n+4)(n+5) = (n²+5n+4-n²-5n)/(n+4)(n+5) = 4/(n+4)(n+5)

dla każdego n∈N  wyrażenie jest dodatnie, czyli ciąg jest rosnacy

 

b) an= 4n+1/3n+1

an+1 = 4(n+1)+1/[3(n+1)+1 = (4n+5)/(3n+4)

an+1-an = (4n+5)/(3n+4) - (4n+1)/(3n+1) = (4n+5)(3n+1)/(3n+4)(3n+1) - (4n+1)(3n+4)/(3n+4)(3n+1) = (12n²+4n+15n+5)/(3n+4)(3n+1) - (12n²+16n+3n+4)/(3n+4)(3n+1) =

(12n²+19n+5-12n²-19n-4)/(3n+4)(3n+1)  = 1/(3n+4)(3n+1)

dla każdego n∈N  wyrażenie jest dodatnie, czyli ciąg jest rosnacy

 

 

c) an= n+2/2n+3

an+1 = (n+1+2)/{2(n+1)+3 = (n+3)/(2n+5)

an+1 - an = (n+3)(2n+3)/(2n+5)(2n+3) - (n+2)(2n+5)/(2n+5)(2n+3) =

(2n²+3n+6n+9)/(2n+5)(2n+3) - (2n²+5n+4n+10)/(2n+5)(2n+3)=

(2n²+9n+9-2n²-9n-10)/(2n+5)(2n+3) = -1/(2n+5)(2n+3)

dla każdego n∈N  wyrażenie jest ujemne, czyli ciąg jest malejący