Question

Dada la funcion: f(x)=9x-2x^3 ; x ∈ [-1,0] ¿Existe algun x ∈ <-1,0> tal que C cumple el teorema del valor medio?

Rpta C= - √1/3

-recta tangente y normal
-hallar punto critico
-intervalo de concavidad
-intervalo de inflexion

Answer 1

1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO:

f'(c) = (f(0) - f(-1))/(0- -1)
f'(c) = (f(0) - f(-1))...(1)

f'(c) = (9c - 2c^3)'
f'(c) = 9 - 6c^2

f(0) = 9*0 - 2*0^3
f(0) = 0

f(-1) = 9(-1) -2(-1)^3
f(-1) = -7

Reemplazando en (1):
9 - 6c^2 = (0 - (-7))
9 - 6c^2 = 7
c^2 - 1/3 = 0
(c + √(1/3))(c - √(1/3)) = 0

Como c ∈ <-1,0>

Entonces:
c = -√(1/3)

2. RECTA TANGENTE Y NORMAL:

Cálculo del punto de la tangente:

f(x) = 9x - 2x^3
f(-√(1/3)) = 9*(-√(1/3)) - 2*(-√(1/3))^3
f(-√(1/3)) = -25*√3/9

Punto intersección: (x1,y1)=(-√(1/3),-25*√3/9)

Recta Tangente:

Derivando f(x):
f'(x) = (9x - 2x^3)'
f'(x) = 9 - 6x^2
f'(-√(1/3)) = 9 - 6*(-√(1/3))^2
f'(-√(1/3)) = 9 - 6*1/3
f'(-√(1/3)) = 9 - 2
f'(-√(1/3)) = 7

Pendiente (m) = f'(-√(1/3)) = 7

Como:
(y - y1)/(x - x1) = m
(y - -25*√3/9)/(x - -√(1/3)) = 7
(y + 25*√3/9)/(x + √(1/3)) = 7
y + 25*√3/9 = 7*(x + √(1/3))
y + 25*√3/9 = 7x + 7√(1/3)
y = 7x + 7√(1/3) - 25*√3/9
y = 7x - 4√3/9

Recta Normal:

Por definición, una recta es perpendicular a otra si el productos de sus pendientes es -1:
Pendiente = -1/f'(-√(1/3)) = -1/7

(y - -25*√3/9)/(x - -√(1/3)) = -1/7
(y + 25*√3/9)/(x + √(1/3)) = -1/7
y + 25*√3/9 = -(1/7)*(x + √(1/3))
y + 25*√3/9 = -x/7 - √(1/3)/7
y = -x/7 - √(1/3)/7 - 25*√3/9
y = -x/7 - 178√3/63

3. PUNTOS CRITICOS:

Derivando f(x):
f'(x) = (9x - 2x^3)' = 0
f'(x) = 9 - 6x^2 = 0
0 = 6x^2 - 9
0 = x^2 - 9/6
0 = x^2 - 3/2
0 = (x + √6/2)(x - √6/2)

x1 = -√6/2
x2 = +√6/2

Punto Crítico 1:

Cuando x = -√6/2

f(-√6/2) = 9(-√6/2) - 2(-√6/2)^3
f(-√6/2) = -3√6

Punto Crítico 1 es (-√6/2 , -3√6).

Punto Critico 2:
Cuando x = +√6/2

f(+√6/2) = 9(+√6/2) - 2(+√6/2)^3
f(+√6/2) = +3√6

Punto Crítico 2 es (+√6/2 , +3√6).