Se desea construir el marco para una ventana rectangular de 6m² de superficie. El metro lineal de tramo horizontal cuesta 20 euros y el tramo vertical 30 euros.
Rpta x=3 , y=2
Coste: 240
Rpta x=3 , y=2
Coste: 240
x*y=6
x=6/y...(1)
El costo se calcula:
Costo(x,y) = 20*2x + 30*2y
Costo(x,y) = 40*x + 60*y...(2)
Reemplazando (1) en (2):
Costo(y) = 40*(6/y) + 60*y
Costo(y) = 240/y + 60*y
Derivando la función e igualando a 0:
Costo'(y) = (240/y + 60*y)' = 0
Costo'(y) = -240/y^2 + 60 = 0
-240/y^2 + 60 = 0
-240 + 60*y^2 = 0
y^2 - 4 = 0
(y + 2)(y - 2)=0
Por lo tanto:
y=2
Reemplazando en (1)
x=6/(2)
x=3
a) Las dimensiones son:
x=3 y y=2.
b) Costo mínimo del marco:
Reemplazando en la función del costo:
Costo(x,y) = 40*(3) + 60*(2)
Costo(x,y) = 120 + 120
Costo(x,y) = 240