Witam. Mam pytania odnośnie trygonometrii.
zad. 1) niech a=sin2, b=cos2. Wówczas:
a) a=b
b) a>b
c) a<b
Skąd mam wiedzieć jakie są zależności międz tymi funkcjami? Jest to okreslone jakąś zasadą? Jeżeli ktoś ma jakąś fajną stronkę, dotyczącą tego, proszę o link.
zad.2) Z warunku ctgx=2 wynika że:
a) sinx>0 i cosx>0
b) sinx<0 i cosx<0
c) sin(s+pi/2)*cos(x+pi/2)<0
Znów moje pytanie: Skąd mam wiedzieć, jaka zależność zachodzi?
zad3) Funkcja y=sin2x+cos(pi)x, xER
a) jest okresowa
b) ma ograniczony zbiór wartości
c) przyjmuje tylko wartości dodatnie
zad.4) Funkcja y=sin2x+sin3x
a) jest okresowa
b) ma zbiór wartości zawarty w przedziale (-5,5)
c) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych
zad.5) Dane są funkcje określone wzorami f(x)=tgx i g(x)=sinx/cosx. Wówczas:
a) dziedziny funkcji f i g są równe
b) funkcje f i g są równe
c) funkcje f i g są równe w przedziale (0, pi/2)
zad.6) Dane są funkcje określone wzorami f(x)=1 i g(x)=tgx*ctgx
a) dziedziny funkcji f i g są równe
b) funkcje f i g są równe
c) funkcje f i g są równe w przedziale (0, pi/2)
Proszę o komentarz do każdego podpunktu - dlaczego tak a nie inaczej.
Z góry dziękuję.
Zad. 1.
a=sin(2)=sin(2rad)=sin(2/pi*180 st)=ok. sin(114,59155902616464175359630962821 st)
b=cos(2)=cos(2rad)=cos(2/pi*180s st)=ok. cos(114,59155902616464175359630962821 st)
Wystarczy spojrzeć na wykres sin(x) oraz cos(x).
Nasz kąt należy do przedziału (90 stopni, 180 stopni). W tym przedziale sin(x) maleje z 1 do 0, a cos(x) maleje z 0 do -1. Maleją w takim samym tempie, więc sin(x) w tym przedziale jest zawsze większe niż cos(x).
Zatem prawdziwa jest odpowiedź B: a>b, czyli sin(2)>cos(2)
Zad. 2.
ctg(x)=2, więć x=arc ctg(2)=ok. 0.4636 (rad)=ok. 26,56 stopni
W przedziale (0 stopni, 90 stopni) sin(x) oraz cos(x) są dodatnie.
Zatem prawdziwa jest odpowiedź A.
Jeśli dodamy pi/2, czyli 90 stopni, to wylądujemy w przedziale (90 stopni, 180 stopni), w którym sin(x) jest dodatni, a cos(x) jest ujemny, więc jeśli wymnożymy te 2 wartości przez siebie to otrzymamy wartość ujemną. C jest więc także prawdziwe.
Odpowiedzi: A,C
Zad. 3.
y=sin(2x)+cos(pi*x)
Jeśli mamy 2 funkcje okresowe o wspólnej dziedzinie (a tak jest w tym przypadku), to ich suma jest także okresowa. Zatem A jest prawdziwe.
sin(2x) e (-1,1)
cos(pi*x) e (-1,1)
Zatem wartość sumy nigdy nie wyjdzie poza (-2,2).
B jest zatem również prawdziwe.
Czy przyjmuje tylko wartości dodatnie?
Nie. Na przykład dla x=-1 mamy y=sin(-2)+cos(-pi)=ok. -0,90929742682568169539601986591174 + 0 < 0
Odpowiedzi: A,B.
Zad. 4.
y=sin(2x)+sin(3x)
Na tej samej zasadzie co wcześniej, A jest prawdziwe.
Zbiór wartości nie wykracza poza zakres (-2,2), a więc tym bardziej zawiera się w przedziale (-5,5) (jest nawet mniejszy). Czyli B jest prawdziwe.
Odnośnie C: szukamy rozwiązania dla sin(2x)+sin(3x)=0
Czyli sin(2x)=-sin(3x)
Jest to prawdziwe chociażby dla x=k*pi, gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. A takich rozwiązań jest nieskończenie wiele. Czyli prawda.
Zatem odpowiedzi: A,B,C.
Zad. 5.
f(x)=tg(x)
g(x)=sin(x)/cos(x)
tg(x)=sin(x)/cos(x)
Czyli f(x)=g(x)
Zatem prawdziwe są: A,B,C.
Zad. 6.
f(x)=1
g(x)=tg(x)*ctg(x)=(sin(x)/cos(x))*(cos(x)/sin(x))=1
Ale tutaj dziedziny nie są równe, ponieważ przy pisaniu tg(x) oraz ctg(x) założyliśmy, że x nie może przyjąć takiej wartości, dla których tg(x) lub ctg(x) nie istnieje (czyli tam gdzie sin(x)=0 lub cos(x)=0). Zatem A jest fałszywe.
Funkcje są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą dziedzinę i przeciwdziedznię. Zatem B jest fałszywe.
Jednak w przedziale (0,pi/2) nie ma takich wartości, które wykluczamy, czyli na tym przedziale funkcje są równe.
Odpowiedź: C.