Question

Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkątem równoramiennym o wysokości h i kącie przy podstawie 45 stopni. wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Poproszę o dokładne oznaczenia i opis.

Odp: h^3 / 2

Answer 1

Kąt przy podstawie ściany bocznej (tr. równ) to 45°, więc podstawa musi mieć długość dwóch wysokości; ostrosłup jest prawidłowy, w podstawie mamy trójkąt równoboczny o takiej samej podstawie jak ściana boczna, więc pole podstawy liczymy ze wzoru: , a podstawiając 2h za a: .

 

Wysokość ostrosłupa policzymy z stw. Pitagorasa trójkąta z \frac{1}{3} wys. podstawy (czyli ), wysokości, której potrzebujemy (H) i przeciwprostokątnej: h.

Pozostało tylko podstawić.

Answer 2

kat ostry α=45°

wysokosc sciany bocznej =h

krawedz podstawy =a

wysokosc bryly =H

wysoksoc podstawy =hp

V=?

-------------------

tg45=h/½a

1=h/½a

h=½a   /·2

czyli krawedz podstawy a=2h

 

czyli pole podstawy : Pp=(a²√3)/4 =[(2h)²·√3]/4=(4h²√3)/4=h²√3

 

⅓hp=⅓·a√3/2=a√3/6=(2h√3)/6=h√3/3

z pitagorasa

(⅓hp)²+H²=h²

podstawiamy za ⅓hp  =h√3/3

(h√3/3)²+H²=h²

3h²/9+H²=h²

h²/3 +H²=h²

H²=h²-⅓h²=⅔h²

H=h√⅔=h√6/3

 

Objetosc bryly:

V=⅓Pp·H=⅓·h²√3· (h√6)/3 =(h³√18)/9 =(h³·√9·√2)/9 =(3h³√2)/3=(h³√2)/3  [j³]