Question

1) Dla jakich m proste l:y=|m+3|x+5 i k:y= - ½x +3 są prostopadłe?

odp. m=-1 u(lub) m=-5

2) Dla jakich m proste l:y= (m+1)²x +m i k:y= 2(m+1)x +3 są równoległe?

odp m∈{-1,1}

3)Napisz równanie prostej

a) równoległej

b) prostopadłej

do prostej l: 2x-3y+1=0 i przechodzącej przez punkt A(0,4)

odp. a2=⅔ , równoległa dla y= ⅔x+4, prostopadla dla y= -³₂x +4

4)Dla jakich wartości k funkcja y=(1-|k+2|)x +4 jest

a) rosnąca

b)malejąca

c) stała

odp.a) k∈(-3,-1) b) k∈(-∞,-3) u (-1, +∞) c) k=-1 v k=-3

5) narysuj wykres funkcji

2x+10 dla x∈(-∞,-4)

f(x) 2 dla x∈<-4,2>

x dla x∈(2,+∞)

6) Dane są punkty A(0,2) B(3,-1) C(3,4)

a) napisz równanie prostej AB w postaci kierunkowej i ogólnej

b) oblicz dł. wysokośći z punktu C i podaj jej równanie

c) znajdź punkt symetryczny do punktu C względem prostej AB

d) Opisz trójkąt za pomocą układu nierówności

e) znajdz punkt D, aby czworokąt ABCD był równoległobokiem

f) oblicz pole trójkąta ABC

ODP. a) y= -x+2, b) d=⁵√²₂ ( pięć pierwiatków z dwóch przez 2) ; y= x1 c) C'(-2,-1), d) y≥ -x+2 y≤ 2/3x +2 x≤3 e)---- f) P trójkąta= 15/2

Answer 1

1) Dla jakich m proste l:y=|m+3|x+5 i k:y= - ½x +3 są prostopadłe?

|m + 3| * (-1/2) = -1

|m+3| = 2

m + 3 = 2 lub m + 3 = -2

m = 2 - 3  lub  m = -2 - 3

m = -1      lub   m = - 5

 

2) Dla jakich m proste l: y = (m+1)²x +m  i  k: y = 2(m+1)x +3 są równoległe?

(m+1)² = 2(m+1)

(m+1)² - 2(m+1) = 0

(m + 1)( m + 1 - 2) = 0

(m + 1)( m - 1) = 0

m + 1 = 0 lub m - 1 = 0

m = -1     lub    m = 1

 

3)Napisz równanie  prostej

a) równoległej

b) prostopadłej

do prostej l: 2x-3y+1=0 i przechodzącej przez punkt A(0,4)

a)

l: 2x-3y+1=0   ||    y = ax + b  i  A=(0,4)

-3y = -2x - 1

y = 2/3x + 1/3   ||   y = ax + b

2/3 = a

 

y = 2/3x + b   i A=(0,4)

                            x  y

4 = 2/3 * 0 + b

4 = 0 + b

b = 4

 

odp.  y= ⅔x+4,

 

b)

l: 2x-3y+1=0   _|_    y = ax + b  i  A=(0,4)

-3y = -2x - 1

y = 2/3x + 1/3   ||   y = ax + b

2/3 * a = -1

a = -3/2

 

y = -3/2x + b   i A=(0,4)

                            x  y

4 = -3/2 * 0 + b

4 = 0 + b

b = 4

 

odp.  y= -3/2x+4

 

4)Dla jakich wartości k funkcja y=(1-|k+2|)x +4  jest

a) rosnąca

(1-|k+2|) > 0

-|k + 2| > -1

|k + 2| < 1

-1 < k + 2 < 1

-1 - 2 < k < 1 - 2

-3 < k < -1

odp. k∈(-3,-1)

 

b)malejąca

(1-|k+2|) < 0

-|k + 2| < -1

|k + 2| > 1

k + 2 > 1  lub k + 2 < - 1

k > 1 - 2  lub k < -1 - 2

k > -1      lub   k < -3

odp. k∈(-∞,-3) u (-1, +∞)

 

c) stała

(1-|k+2|) = 0

-|k + 2| = -1

|k + 2| = 1

k + 2 = 1  lub k + 2 = -1

k = 1 - 2  lub  k = -1 - 2

k = -1   lub  k = -3

6) Dane są punkty A(0,2) B(3,-1) C(3,4)

a) napisz równanie prostej AB w postaci kierunkowej i ogólnej

y = ax + b

A= (0,2) B=(3,-1)

 

2 = a * 0 + b   ------ podstawiłam za x i y współrzedne pkt. A

-1 = a * 3 + b   ------ podstawiłam za x i y współrzedne pkt. B

 

2 = b

-1 = 3a + b

 

3a + b = -1

3a + 2 = -1

3a = -1 - 2

3a = -3

a = -1

y = -x + 2 ---- postać kierunkowa

-x - y + 2 = 0 ---- postać ogólna

odp. y = -x + 2,      -x - y + 2 = 0

 

b) oblicz dł. wysokośći z punktu C i podaj jej równanie

C = (3, 4)

        x₀=3   y₀=4

  -x - y + 2 = 0

A = -1   B = -1   C = 2

d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)    ---- wzór na odlełość punktu od prostej

h = d = |(-1) * 3 + (-1) * 4 + 2| / √[(-1)² + (-1)²]

h = |-3 - 4 + 2| / √(1 + 1)

h= |-5| / √2

h= 5/√2

h = 5√2 / 2 

O = (x₁, y₁) --- spodek wysokości

prosta AB _|_ prostej CO

y = -x + 2    _|_    y = ax + b   i C = (3, 4)

-1 * a = -1

a = 1

y = x + b   i C = (3, 4)

                        x   y

4 = 3 + b

b = 1

prosta CO : y = x + 1
c) znajdź punkt symetryczny do punktu C względem prostej AB

C` = (x₁, y₁)

 

y = -x + 2

y = x + 1

-------------

2y = 3

y = 3/2

 

y = x + 1

3/2 = x + 1

3/2 - 1 = x

1/2 = x

 

O = (1/2; 3/2) ---- współrzędne spodka wysokości

 

(x₁ + 3) / 2 = 1/2

x₁ + 3 = 1/2 * 2

x₁ + 3 = 1

x₁ = -2

 

(y₁ + 4) / 2 = 3/2

y₁ + 4 = 3/2 * 2

y₁ + 4 = 3

y₁ = -1

odp. C` = (-2, -1)

 

d) Opisz trójkąt za pomocą układu nierówności

prosta AB: y = -x + 2

prosta BC: x = 3

prosta AC:

y = ax + b

2 = a * 0 + b

4 = a * 3 + b

 

b = 2

4 = 3a + 2

4 - 2 = 3a

2 = 3a

a = 2/3

prosta AC: y = 2/3x + 2

odp. y ≥ -x + 2   y ≤ 2/3x + 2   x ≤ 3

 

e) znajdz punkt D, aby czworokąt ABCD był równoległobokiem

bok  AD || BC  i |AD| = |BC|

|BC| = √[(3 - 3)² + (4 + 1)²] = √(0 + 25) = √25 = 5 

|AD| = 5

D = (0, y)

|y - 2| = 5

y - 2 = 5    lub y - 2 = -5

y = 7         lub  y = -3

odp. D = (0, -3)  lub D = (0, 7)

 

f) oblicz pole trójkąta ABC

P = 1/2 * |AB| * h

|AB| = √[(3 - 0)² + (-1 - 2)²] = √(3² + (-3)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2

P = 1/2 * 3√2 * 5√2/2

P = 15/2 = 7,5 j²