Question

1) punkty A(-1,2) i A'(-2/5,9/5) sa symetrycznie wzgl. prostej k. wyzn. równanie tej prostej.

2) znajdź punkt symetryczny do punktu A(4,5) wzgl prostej x-y+4=0

odp. s=(5/2,13/2) A'(1,8)

3) dane sa sektory a=[2,1] b=[-4,3] c= [-5,0]. oblicz dł. w=a +2b-3c

odp. w=[9,7], |w|=pierwiastek ze 130

Answer 1

1)    A(-1;2)      Aprim(-2/5:9/5)

piszemy rownanie prostej AAprim

y=ax+b

wstawiamy wspolrzedne punktow

{2=-a+b

{9/5=-2/5 a+b        /·5

 

{-a+b=2               /·(-2)

{-2a+5b=9

 

{2a-2b=-4 

-2a+5b=9

------------------    dodajemy rownania stronami

    3b=5

b=5/3=1 i 2/3

-a+b=2

-a+1 i 2/3=2

-a=1/3

a=-1/3

 

y=-1/3 x+5/3     rownanie prostej AAprim 

szukamy srodka odcinka AAprim

    x s=(-1-2/5)/2=-7/5·1/2=-7/10

y s=(2+9/5)/2=19/5·1/2=19/10=1 i 9/10

musimy napisac rownanie prostej prostopadlej do AAprim przechodzacej przez punkt(-7/10;19/10)

a 1·a 2=-1      warunek prostopadlosci prostych

-1/3·a 2=-1     /·(-3)

a 2=3

y=a 2x+b

19/10=3·(-7/10)+b

19/10=-21/10+b

b=19/10+21/10

b=4

y=3x+4      rownanie prostej k

==============================================================

2)   x-y+4=0 

-y=-x-4

y=x+4      rownanie w postaci kierunkowej

piszemy rownanie prostej prostopadlej do y=x+4 i przechodzacej przez punkt A(4;5)

a 1·a 2=-1

1·a 2=-1

a 2=-1

y=a 2x+b 

5=-4+b

b=9

y=-x+9     rownanie prostej prostopadlej

szukamy punktu przeciecia prostych y=x+4 i y=-x+9

{y=x+4

{y=-x+9 

 

x+4=-x+9

2x=5

x=5/2

y=x+4

y=5/2+4

y=13/2

 

S(5/2;13/2)

szukamy wspolrzednych punktu Aprim

punkt S jest srodkiem odcinka AAprim

niech A prim(x;y)

     4+x      5

--------- = -------        /·2

  2              2

 

4+x=5

x=1

 

 5+y               13

----------- =--------------                /·2

   2                  2 

 

5+y=13

y=8

 

Aprim(1;8)

================================================================

 

3)     a=[2;1]

b=[-4;3]

c=[-5;0]

w=a+2b-3c

w=[2;1]+2[-4;3]-3[-5;0]

w=[2;1]+[-8;6]+[15;0]

w=[9;7]

liczymy dlugosc wektora

|w|=√x²+y²    pierwiastek do calosci

|w|=√81+49

|w|=√130

===================================================================