Question

1) Dana jest funkcja kwadratowa f(x)= -2x² - 4x +6

a)podaj postać kanoniczną f(x)

b) podaj dziedzinę i zbiór wartości

c) podaj postać iloczynową

d)określ znaki funcji

e)określi monotonicznośc

f)wyznacz największą i najmniejszą wartość funcji w przedziale <-2,2>

2) Wyznacz współczynniki a,b,c funcji kwadratowej f(x)= ax²+bx+c, wiedząc że osiąga ona wartość maksymalną ymax=12 dla x=1 i do wykresu należy punkt A(3,0).

ODP. a=-3;b=6;c;9

3) Rozwiąż nierówności

a) x²+4>0, to samo wyrażenie ≥, <, ≤ od zera (3 róże przypadki)

b) x²-4>0 ≥, <, ≤

c) 3-x²≥0

d) x²-4x+4>0 to samo wyrażenie ≥, <, ≤ od zera (3 róże przypadki)

e) -x²-3x>0 to samo wyrażenie ≥, <, ≤ od zera (3 róże przypadki)

f)(x-3)(1-x)>0 to samo wyrażenie ≥, <, ≤ od zera (3 róże przypadki)

Answer 1

1)     f(x)=-2x²-4x+6

a)   f(x)=a(x-p)²+q     postac kanoniczna

p=-b/2a

p=4/-4

p=-1

Δ=16-4·(-2)·6

Δ=16+48

Δ=64

q=-Δ/4a

q=-64/-8

q=8

f(x)=-2(x+1)²+8   postac kanoniczna

 

b)    D=R     dziedzina

      Y=(-∞;8>     zbior wartosci

 

c)   √Δ=8

x 1=(4-8)/-4=1

x 2=(4+8)/-4=-3

f(x)=-2(x-1)(x+3)       postac iloczynowa

 

d)   f(x)>0⇔x∈(-3;1)

f(x)<0⇔x∈(-∞;-3)U(1;∞)

 

e)  f rosnie⇔x∈(-∞;-1)

     f maleje⇔x∈ (-1;∞)

 

f)   <-2;2>

p=-1∈<-2;2>

czyli najwieksza wartoscia jest druga wspolrzedna wierzcholka, liczba 8 

f(-2)=-8+8+6=6

f(2)=-8-8+6=-10    wartosc najmniejsza

===============================================================

 

2)   y max=12    dla x=1

A(3;0)

skoro y max=12, to a<0, a wspolrzedne wierzcholka paraboli wynosza (1;12)

p=1     q=12

piszemy postac kanoniczna

f(x)=a(x-1)² +12

wstawiamy wspolrzedne punktu A

0=a(3-1)²+12

4a+12=0

4a=-12

a=-3

==========

f(x)=-3(x-1)²+12

f(x)=-3(x²-2x+1)+12

f(x)=-3x²+6x-3+12

f(x)=-3x²+6x+9

 

a=-3       b=6             c=9

=======================================================================

 

3)  a)   x²+4>0

          x∈R

         x²+4≥0

x∈R

x²+4<0

x∈zbioru pustego

x²+4≤0

x∈zbioru pustego

 

b)   x²-4>0

x∈(-∞;-2)U(2;∞)

  x²-4≥0

x∈(-∞;-2>U<2;∞0

x²-4<0

x∈(-2;2)

x²-4≤0

x∈<-2;2>

 

c)  3-x²≥0

-x²+3≥0            (√3+x)(√3-x)=0

x∈<-√3;√3>

 

d)  x²-4x+4>0

(x-2)²>0

x∈R\{2}

x²-4x+4≥0

x∈R

x²-4x+4<0

x∈zbioru pustego

x²-4x+4≤0

x=2

 

e)   -x²-3x>0         x(-x-3)>0

     x∈(-3;0)

    -x²-3x≥0

x∈<-3;0>

-x²-3x<0

x∈(-∞;-3)U(0;∞)

-x²-3x≤0

x∈(-∞;-3>U<0;∞0

 

f)   (x-3)(1-x) >0

x∈(1;3) 

(x-3)(1-x)≥0

x∈<1;3>

(x-3)(1-x)<0

x∈(-∞;1)U((3;∞)

(x-3)(1-x) ≤0

x∈(-∞;1>U<3;∞0

========================================================================

ufff    duzo tego