Question

1.Znajdź liczby spełniające równanie.

b) (x+5)(x²+x-20)(x²-5)=0

c) (2x²+9x+9)(9x²+1)=0

2.Rozwiąż równania wielomianowe.

b) 4x⁴-5x²+1=0

c) 2x⁵+5x³-12x=0

Answer 1

1.Znajdź liczby spełniające równanie.

b) (x+5)(x²+x-20)(x²-5)=0

w drugim nawiasie obliczam pierwiastki i zapisuję w postaci iloczynowej

Δ = 1² -4*1*(-20) = 81

√Δ = √81 = 9

x1 = (-1-9):2*1 = (-10):2 = -5

x2 = (-1 +9) :2*1 = 8 : 2 = 4

(x² +x -20) = 1(x + 5)(x -4)

 

   (x +5)(x -4)(x +5)( x -√5)(x +√5) = 0

 x +5 = 0, lub x -4 = 0, lub x +5 = 0, lub x -√5 = 0, lub x + √5 = 0

x = -5,     lub  x = 4,    lub x = -5,    lub  x = √5,    lub x = - √5

 

c) (2x²+9x+9)(9x²+1)=0

Obliczam pierwiastki  1 wyrażenia w nawiasie

 

(2x²+9x+9) = 0

Δ = 9² -4*2*9 = 81 - 72 = 9

√Δ = √9 = 3

x1 = (-9 -3) :2*2 = (-12) : 4 = -3

x2 = (-9 +3) : 2*2 = (-6) : 4 = - 3/2 = -1,5

 

drugie równanie nie ma pierwiastków ( jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej)

 

2.Rozwiąż równania wielomianowe.

b) 4x⁴-5x²+1=0

 

Wprowadzam dodatkową niewiadomą

x² = t

4t² -5t +1 = 0

Δ = (-5)² -4*4*1 = 25 -16 = 9

√Δ = √9 = 3

t1 = (5 -3):2*4 = 2 : 8 = ¼

t2 = (5 +3) :2*4 = 8 : 8 = 1

powracam do pierwotnego oznaczenia

x² = t1,         lub  x² = t2

x² = ¼           lub  x² = 1

x²-¼ = 0,       lub  x² -1 = 0

(x-½)(x+½) =0, lub (x -1)(x+1) = 0

x-½ = 0, lub x +½ = 0, lub x -1 = 0, lub x +1 = 0

x = ½,    lub  x = - ½,  lub  x = 1,    lub  x = -1

 

c) 2x⁵+5x³-12x=0

 x(2x⁴+5x² -12) = 0

x = 0,      lub     2x⁴+5x² -12 = 0

x = 0,     lub      obliczam pierwiastki

 

2x⁴+5x² -12 = 0

x² = t

2*t² + 5t -12 = 0

Δ = 5² - 4*2*(-12) = 25 + 96 = 121

√Δ = √121 = 11

 

t1 = (-5 -11) : 2*2 = (-16): 4 = -4

t2 = (-5 +11) :2*2 =  6 : 4 = 3/2

 

x² = t1,        lub     x² = t2

x² =  -4        lub     x² =  3/2

 

x² = -4 brak pierwiastków, bo żadna liczba podniesiona do kwadratu nie daje liczby minusowej

 

obliczam drugi pierwiastek

x² = 3/2

x² -3/2 = 0

(x -√3/√2)(x +√3/√2) = 0

x -√3/√2) = 0,          lub (x +√3/√2) = 0    

x = √3/√2,               lub   x = - √3 /√2

     √3  √2                               - √3    √2

x = ---*---                   lub    x = --- * ----

     √2   √2                                √2   √2

 

      √6                                  - √6

x = ----                     lub   x = ----

      2                                      2

x = ½√6           lub   x = - ½√6       

 

Pierwiastkami równania są x = 0, x = ½√6 , x = - ½√6 

(pierwiastek x = 0, obliczony był na początku obliceń)

Answer 2

zad.1

b) x+5=0 lub  x²+x-20=0 lub x²-5=0

x₁= -5  lub  Δ=1+80=81 lub x²=5

√Δ=9               x₄=√5

x₂=4                x₅=-√5

x₃=-5

c) 2x²+9x+9=0   lub   9x²+1 =0

Δ= 81-72 =9   lub   9x²=-1 (sprzeczność nie ma takiej liczby która do

√Δ=3                                     kwadratu da liczbę ujemną)

x₁= -3

x₂  = -1½

2.

b)4x⁴-5x²+1=0 wprowadzam zmienną t=x²

4t²-5t+1=0

Δ=25-16=9    √Δ =3    t₁= ¼, t₂=1

t₁=x₁² ;    ¼=x₁²;   ( ½)²=x₁²; więc x₁=½ ;x₃=-½

t₂=x₂²  ;   1=x₂²;    (1)²=x₂² ; więc ²x₂=1;x₄=-1

c) x (2x⁴+5x²-12)=0 więc x₁=0 lub 2x⁴+5x²-12=0 wprowadzam zmienną t=x²

2t²+5t-12=0

Δ=25+96=121   ;  √Δ = 11;  t₁=-4; t₂=1½

t₁=x²; -4=x²(sprzeczność)

t₂=x² ; 1½=x²; x₂=√6/2; x₃=- √6/2