Question

1)W malejacym ciągu geometrycznym (an) mamy a1= -2, a3= -4. Ile jest równy iloraz tego ciągu ?

2) Ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciag (a, b+3, c+13) jest geometryczny. Oblicz a, b i c .

3) Ciag(1, x, y-1) jest arytmetyczny, natomiast ciag (x,y,12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny. Bardzo prosze o rozwiązanie i wytłumazcenie jak sie te zadania robi (jakieś wzory, twierdzenia o czym trzeba pamiętac). Dzięki. Pozdrawiam.

Answer 1

1. Ze wzoru  an = a₁q n⁻¹  na n-ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

a3 = a₁q²
-4 = - 2q²  /: (-2)
2 = q²
q = √2 
q = -√2

 

2.

Skoro podane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, możemy je oznaczyć przez b - r, b,b +r . Z podanej sumy mamy więc

33 = (b-r) +b + (b+r) = 3b   -->  b = 11

Zatem szukane liczby to 11 -r , 11, 11 + r.

Pozostało teraz skorzystać z drugiej informacji: jeżeli trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to kwadrat środkowej musi być równy iloczynowi pozostałych, czyli

(b + 3)² = a (c+13)
14² = (11- r) (24 + r)
196 = 264 - 24r + 11r - r²
r² + 13r - 68 = 0
Δ = 169 + 272 = 441 = 21²

r= -13-21 / 2 = -34/2 = -17    r= -13+21/2 = 8/2 = 4

 

Są zatem dwa takie ciągi

(28,11,-6) i (7,11,15)

3.

Jeżeli liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to 2b = a+c . Jeżeli są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to b² = ac. Mamy zatem układ równań

2x = 1 + y - 1 = y
y² = 12x  

Podstawiając wartość y = 2x  z pierwszego równania do drugiego mamy

(2x)² = 12x
4x² - 12x = 0
4x(x - 3) = 0
x = 0    x = 3

Dla x = y= 0 ciąg (0,0,12) nie jest geometryczny, więc musi być x = 3, czyli y = 6 i mamy ciąg geometryczny (3, 6, 12).