Question

1.

W graniastoslupie prawidlowym czworokątnym przekątna tworzy z plaszczyzną podstawy kąt alfa=30 stopni. Oblicz pole powierzchni calkowitej i objętosc tego graniastoslupa, jezeli pole powierzchni bocznej jest rowne 72 pierwiastek z 6 cm2

2.

Podstawą graniastoslupa prostego jest trapez, w ktorym trzy boki mają po 13 cm, a dluzsza podstawa ma 23 cm. Oblicz pole powierzchni calkowitej i objętosc tej bryly, jezeli jej wysokosc jest rowna 16 cm.

Answer 1

z.1

Pb = 72 p(6) cm^2

alfa = 30 st

h - wysokość  graniastosłupa

d  - długośc przekatnej graniastosłupa

a - długośc boku kwadratu

a p(2)  - długość przekatnej kwadratu

Trójkąt o bokach długości : ap(2), h,d  jest prostokątny i ma kąty o mierze

30 st, 60 st i 90 st

zatem  d =2*h

 Z Tw. Pitagorasa mamy

[ a p(2)]^2 + h^2 = (2h)^2

 

2 a^2 = 4 h^2 - h^2 = 3 h^2

h^2 = (2/3) a^2

h = a p(2/3)

=============

Pb = 4a * h = 4a * a p(2/3) = 4 a^2 p(2/3)

zatem

4 a^2 p(2/3) = 72 p(6) / : 4

a^2 * p(2)/p(3) = 18 p(6)

a^2 = 18 p(6) *p(3)/p(2)

a^2 = 18 p(3)*p(2)*p(3)/p(2) = 18*3 =54 = 9*6

a = 3 p(6)

a = 3 p(6) cm

=========

zatem

h = 3 p(6) * p(2/3) = 3 p(6) *p(2) / p(3) = 3* p(3)*p(2)*p(2) / p(3) = 6

h = 6 cm

=========

Pc = 2 Pp + Pb = 2 *a^2 + 72 p(6) = 2*[ 3 p(6)]^2 + 72 p(6) =2*9*6 + 72 p(6) =

= 108 + 72 p(6)

Pc = [ 108 + 72 p(6)] cm^2

===========================

V = Pp *h = [ 3 p(6)]^2  * 6 = 9*6*6 = 324

V = 324 cm^3

===================

z.2

b = 13 cm

c = 13 cm

a = 23 cm

h = 16 cm

-------------------

Mamy

a = x + b + x  = 2x + b

2x = a - b

x = [ a - b]/2 = [ 23 - 13]/2 = 10/2 = 5

h1 - wysokośc trapezu

Mamy

x^2 + h1^2 = c^2

h1 ^2 = c^2 - x^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144

h1 = p(144) = 12

h1 = 12 cm

===========

Pp - pole trapezu

Pp = 0,5 [ a + b ]*h1 = 0,5*[23 + 13]*12 = 6*39 = 234

Pp = 234 cm^2

==============

Pc = 2 Pp + Pb= 2 *234 + [a + b + 2c]*h = 468 + [ 23 + 13 +2*13]*16 =

= 468 + 62*16 = 468 + 992 = 1460

Pc =  1 460 cm^2

===================

V = Pp *h = 234 cm^2 * 16 cm = 3 744 cm^3

======================================