Question

1.Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma długosc a. Krawędź boczna ostrosłupa ma dł. 2a. Oblicz objetość.

2. przekatna graniastoslupa prawidlowego czworokatnego ma dł. 12 cm i jest nachylona do plaszczyzny podstawy pod katem 30 stopni. Oblicz pole powierzchni i objetosc graniastosłupa.

Answer 1

z.1

h1 - wysokość podstawy trójkata równobocznego o boku a

h - wysokośc ostrosłupa

Mamy

h1 = a p(3)/2

x = (2/3) h1 = (2/3)* a p(3)/2 = a p(3)/3

Z tw. Pitagorasa mamy

h^2 + x^2 = (2a)^2

h^2 = 4 a^2 - [ a p(3)/3 ]^2 = 4 a^2 - a^2/3 = (12/3) a^2 - (1/3)a^2 = (11/3) a^2

czyli

h = p(11/3) a

================

Objętość  ostrosłupa

V = (1/3) Pp *h =  [(1/3) a^2 p(3)/4 ] * p(11/3) a = [ a^3 /12]* p(11)

=============================================================

z.2

a - długość  boku kwadratu ( podstawy graniastosłupa )

h - wysokość graniastosłupa

c = 12 cm  - długość  przekątnej graniastosłupa

alfa = 30 st - miara kąta nachylenia przekątnej graniastosłupa do pł. podstawy

Mamy

d = ap(2)  - długość przekatnej kwadratu

d/ 12 = cos alfa

 ap(2) /12 = cos 30 st = p(3)/2

2 a p(2) = 12 p(3)

a = 6 p(3)/ p(2) = 3 p(6)

a = 3 p(6) cm

===============

h/12 = sin 30 st

h = 12 * (1/2) = 6

h = 6 cm

===========

Pole powierzchni graniastosłupa

Pc = 2 Pp + Pb = 2 *a^2 + 4 a*h

Pc = 2 * [ 3 p(6)]^2 + 4 *3 p(6)*6 = 2*54 + 72 p(6) = 108 + 72 p(6)

Pc = [ 108 + 72 p(6)] cm^2

============================

Objętość

V = Pp *h = a^2 *h = [ 3 p(6)]^2 * 6 = 54 *6 = 324

V = 324 cm^3

===================

p(11) - pierwiastek kwadratowy z 11

p(6) - pierwiastek kwadratowy z 6