Question

W ciągu arytmetycznym (an) dane są a3 = 7 i a6 = 13.

Wyznacz a1 i a5.

Rozkładamy pszenicę na szachownicy. Jej ilość była określona za pomocą szachownicy w następujący sposób: na pierwszym polu trzeba położyć jedno ziarno, na drugim dwa, na każdym następnym dwa razy więcej niż na poprzednim polu , i tak do ostatniego pola. Oblicz, ile ziaren pszenicy zmieści się na tej szachownicy.

Answer 1

ZADANIE 1.

 

Odpowiedź: a_1=3 oraz a_5=11

 

 

ZADANIE 2.

Opisany sposób rozdziału ziaren na szachownicy jest ciągiem geometrycznym, czyli:

a_1=2^0=1

a_2=2^1=2

a_3=2^2=4

a_4=2^3=8

....

a^64=2^63

 

Wobec tego:

a_1 = 1

n = 64

q = 2

 

Liczba ziarem na szachownicy:

 

Liczba ta jest ogromna i wynosi: 18.446.744.073.709.551.615 (kropkami przedzieliłem tysiące)

Odpowiedź: Liczba ziaren na szachownicy o 64 polach wynosi 2^(64)-1

Answer 2

1.

a3 = 7,  a6 = 13

a1 = ?

a5 = ?

 

a1+2r = a3

a1+5r = a6

 

a1+2r = 7  I*(-1)

a1+5r = 13

 

-a1-2r = -7

a1 +5r = 13

---------------- +

3r = 6  /:3

r = 2

-----

a1+2·2 = 7

a1+4 = 7

a1 = 7-4

a1 = 3

==== 

a5 = a1+4r = 3+4·2 = 3+8 = 11

a5 = 11

=====

 

2.

1, 2, 4, 8, 16, .....

a1 = 2⁰ = 1

a2 = 2¹ = 2

a3 = 2² = 3

a4 = 2³ = 8

a5 = 2⁴ = 16  itd   - ciąg geometryczny

 

a1 = 1

n = 64 (64 pól)

q = 2/1 = 4/2

q = 2

 

Sn = a1·(1-q^n)/(1-q)

S₆₄ = 1·(1-2⁶⁴)/(1-2) = (1-2⁶⁴)/(-1) = -(1-2⁶⁴) = 2⁶⁴-1

S₆₄ = 2⁶⁴-1 (ilość ziaren)

=======