Question

1.Dana jest funkcja y=-x2+2x+3
a)oblicz współrzędne wierzchołka paraboli
b)oblicz miejsca zerowe
c)narysuj wykres funkcji
d)okresl przedziały monotonicznosci
e)zapisz te funkcje w postaci kanonicznej i iloczynowej.

2.Funkcja kwadratowa o miejscach zerowych 2 i -3 przechodzi przez punkt 1,8.Zapisz wzór tej funkcji.

Answer 1

1.Dana jest funkcja y=-x²+2x+3
a)oblicz współrzędne wierzchołka paraboli
delta=4+12=16
yx=-delta/4a
yw=-16/(-4)=4
xw=-b/2a=-2/(-2)=1
(1,4)
b)oblicz miejsca zerowe
x₁=-2-4/(-2)=3
x₂=-2+4/(-2)=-1
c)narysuj wykres funkcji
ramionami w dol przecina os x w punktach -1,3
d)okresl przedziały monotonicznosci
f rosnaca dla x∈(-∞,1)
fmalejaca dla x∈(1,∞)
e)zapisz te funkcje w postaci kanonicznej
y=-1(x-1)²+4
i iloczynowej.
y=-(x-3)(x+1)
2.Funkcja kwadratowa o miejscach zerowych 2 i -3 przechodzi przez punkt 1,8.Zapisz wzór tej funkcji.
y=a(x-2)(x+3)
8=a(1-2)(1+3)
8=a(-1)(4)
8=-4a
a=-2
y=-2(x-2)(x+3)

Answer 2

1.Dana jest funkcja y=-x²+2x+3
a)
((-b/2a) ; (-Δ/4a) )
a=(-1), b=2, c=3, Δ=b²-4*a*c=2²-4*(-1)*3=4+12=16
((-b/2a) ; (-Δ/4a) ) = ( -2/(2*(-1)) ; -16/(4*(-1)) ) = (-2/-2 , -16/-4)=(1,4)
b)
y=-x²+2x+3=0
Δ=b²-4*a*c=2²-4*(-1)*3=4+12=16
√Δ=±4
x₁=[-b-√Δ]/[2*a]=[-2-4]/[2*(-1)]=-6/-2=3
x₂=[-b+√Δ]/[2*a]=[-2+4]/[2*(-1)]=2/-2=-1
Miejsca zerowe to (-1) i 3.
c)narysuj wykres funkcji
Rysujesz parabolę z ramionami w dół (bo przy x² stoi (-1) a liczba ta jest mniejsza od zera), parabola ta ma przecinać oś x w miejscach zerowych a więc w punktach (-1,0) oraz (3,0), dodatkowo przechodzi przez punkty (0,3) - przecięcie osi y, (-2, -5), (1, 4) ( wierzchołek) , (2, 3), (4, -5).
d)
funkcja ma ramiona w dół więc rośnie dla x∈(-∞, x(w))=(-∞, 1), natomiast maleje dla x∈(x(w), +∞)=(1, +∞), gdzie x(w) jest pierwszą współrzędną wierzchołka
e)
postać iloczynowa (ogólnie gdy ma dwa rozwiązania a(x-x₁)(x-x₂) )
y = (-1)(x-3)(x-(-1))=-(x-3)(x+1)
postać kanoniczna (ogólnie y=a(x-p)²+q, gdzie (p,q) - współrzędne wierzchołka paraboli)
y = (-1)(x-1)²+4=-(x-1)²+4

2.
Miejsca zerowe wynoszą 2 i -3 zatem funkcja przechodzi przez punkty (2,0) oraz (-3,0), dodatkowo przechodzi przez (1,8), podstawiamy współrzędne do postaci ogólnej y=ax²+bx+c, szukamy ile mają współczynniki a, b i c.
0=a*2²+b*2+c
0=a*(-3)²+b*(-3)+c
8=a*1²+b*1+c

0=4a+2b+c
0=9a-3b+c
8=a+b+c

Biorę dwa pierwsze i mnożę pierwsze przez (-1)
0=4a+2b+c /*(-1)
0=9a-3b+c

0=-4a-2b-c
0=9a-3b+c
Dodaję stronami
0=5a-5b
-5a=-5b /:(-5)
a=b

Wstawiam to do drugiego i trzeciego
0=9b-3b+c
8=b+b+c

0=6b+c
8=2b+c /*(-3)

0=6b+c
-24=-6b-3c
Dodaję stronami
-24=-2c
2c=24 /:2
c=12

Wstawiam a=b i c=12 do pierwszego równania i mam
0=4b+2b+12
0=6b+12
-6b=12 /:(-6)
b=(-2)
zatem skoro a=b więc a=(-2)

Parabola ta ma wzór y=-2x²-2x+12