Question

Punkt C należy do okręgu o średnicy AB. Punkt C leży w odległości 12 cm od punktu B i w odległości 4 8/13 od odcinka AB. Oblicz: a) długość średnicy okręgu b) długość cięciwy AC

Answer 1

AB - średnica okręgu

C - punkt należący do okręgu o średnicy AB

 

Punkty ABC tworzą trójkąt ABC, wiemy, że kąt wpisany (∢ACB) oparty na średnicy (AB) jest kątem prostym, zatem ΔABC jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej AB i przyprostokątnych AC i BC.

 

Przyjmujemy oznaczenia (patrz załącznik):

|AC| = a

|BC| = b = 12 cm

|AB| = c

CD to odległość punktu C od średnicy AB, czyli odcinek CD to wysokość ΔABC opuszczona na bok AB.

|CD| = h = 4⁸/₁₃ cm

P - pole trójkąta ABC

 

P = ½·ab = ½ · a · 12 = 6a

P = ½·ch = ½ · c · 4⁸/₁₃ = ½ · c · ⁶⁰/₁₃ = ³⁰/₁₃·c

Stąd:

6a = ³⁰/₁₃·c  /:6

a = ³⁰/₁₃ · ¹/₆ · c

a = ⁵/₁₃ · c

 

a) Oblicz długość średnicy okręgu.

 

Z tw. Pitagorasa:

c² = a² + b²

c² = (⁵/₁₃ · c)² + 12²

c² = ²⁵/₁₆₉ · c² + 144

c² - ²⁵/₁₆₉ · c² = 144

¹⁶⁹/₁₆₉ · c² - ²⁵/₁₆₉ · c² = 144

¹⁴⁴/₁₆₉ · c² = 144    /:¹⁴⁴/₁₆₉

c² = 144 · ¹⁶⁹/₁₄₄

c² = 169

c = 13 cm

 

|AB| = c = 13 cm

 

Odp. Długość średnicy okręgu wynosi 13 cm.

 

b) Oblicz długość cięciwy AC.

 

a = ⁵/₁₃ · c

a = ⁵/₁₃ · 13

a = 5 cm

 

|AC| = a = 5 cm

 

Odp. Długość cięciwy AC wynosi 5 cm.