Question

Proszę o rozwiązanie poniższych zadań i bardzo dokładny opis rozwiązania, to znaczy krok po kroku - jak do niego dojść, razem z ewentualnymi wzorami, wykorzystywanymi właściwościami figur itp.

1) Działkę budowlaną w kształcie trapezu o bokach 50, 20, 50, 80 podzielono na dwie części o równej powierzchni płotem równoległym do podstaw trapezu. Jaka jest długość płotu rozdzielającego działki?

2) Trapez ABCD ma wysokość równą 0, a bok AB jest dłuższą podstawą. Oblicz pole trapezu, jeśli: kątDAB = 30°., kątABC = 75°., kątACB = 90°.

3) Wiedząc, że sin(6π + α) > 0 i cos(π + α) = 5/13, oblicz tgα.

Answer 1

zad.1

a=80 m
b=20 m
c=50 m
x=(80-20)/2=30

x²+h²=c²
h²=2500-900
h²=1600
h=40 m

P=1/2(80+20)*40
P=(100)*20
P=2 000 m²

x-długosc płotu

(80+x)/2*h=1000
(x+20)/2*(40-h)=1000

(80+x)*h=2000

h=2000/(80+x)
(x+20)*(40-h)=2000

(80+x)*h=(x+20)*(40-h)
80h+xh=40x-xh+800-20h
100h+2xh=40x+800 /:2
h(50+x)=20x+400
h=(20x+400)/(50+x)
h=2000/(80+x)

(20x+400)/(50+x)=2000/(80+x)

2000*(50+x)=(20x+400)(80+x)
100000+2000x=1600x+20x²+32000+400x

100000+2000x=1600x+20x²+32000+400x
20x²+2000x-2000x+32 000-100 000=0
20x²-68 000=0 /:20
x²-3400=0
x= \sqrt{3400}
x=10 \sqrt{34}

zad.2

CE = DF = h = 10
AB - dłuższa podstawa
CD - krótsza podstawa
BC - bok
AD - bok
ctg 75° = 2- \sqrt{3}
sin 75° = ( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) : 4
cos 75° = ( \sqrt{6} - \sqrt{2}  ) : 4
ctg 30° = \sqrt{3}

P = ?

P =[( AB + CD ):2 ]* h

1. Obliczam EB z trójkąta prostokatnego EBC, gzie EB- przyprostokątna, CE =h =10 to druga przyprostokątna oraz BC- przeciwprostokątna, kąt ABC = 75°
EB/CE = ctg 75°
EB = CE *ctg 75°
EB = h *(2-√3))
EB = 10*(2-√3)
EB = 20 -10√3

2. Obliczam AF z trójkąta prostokątnego AFD, gdzie :
AF-przyprostokątna przy kącie 30°,
DF = h =10 - druga przyprostokątna,
AD- przeciwprostokątna, DAB = 30°

AF/ DF = ctg 30°
AF = DF* ctg 30°
AF = h *√3
AF = 10√3

3. Obliczam bok BC z trójkąta prostokątnego EBC, gdzie :
EB - przyprostokątna przy kącie EBC =75°,
CE = h =10 - druga przyprostokątna
BC - przeciwprostokątna

CE/BC = sin 75°
h: BC = (√6 +√2) : 4
BC*(√6 +√2) = 10*4
BC = 40:(√6 +√2)
BC = 40:(√6 +√2)*(√6 - √2): (√6 -√2) ( usuwam niewymierność z mianownika)
BC= 40*(√6 -√2) : 4
BC = 10 (√6 -√2)

4. Obliczam AB z trójkąta prostokątnego ABC, gdzie :
BC- przyprostokątna leżąca przy kącie ABC = 75°
AC- druga przyprostokątna
AB - przeciwprostokątna
BC/AB = cos 75°
BC: AB = (√6 - √2) : 4
AB*(√6 - √2) = 4*BC
AB = (4*BC) :(√6 - √2)
AB = (4*10)*( √6 - √2):(√6 - √2)
redukuję (√6 - √2)
AB = 40

5. Obliczam krótszą podstawę CD z zależności:
AB = CD + AF + EB
CD = AB - (AF + EB)
CD = 40 - ( 10√3 + 20 -10√3 )
CD = 40 - 20
CD = 20

6. Obliczam pole trapezu P
P = [( AB + CD ):2 ]* h
P = [(40 + 20) :2 ]*10
P = ( 60:2 )*10
P = 30*10
P = 300

zad.3

sin( 6 pi + alfa) = sin alfa > 0

cos ( pi + alfa) = - cos alfa

zatem

- cos alfa = 5/13   czyli  cos alfa = - 5/13

Końcowe ramię kąta alfa znajduje się w II ćwiartce

zatem x = -5  oraz r = 13

y^2 = r^2 - x^2 = 13^2 - (-5)^2 = 169 - 25 = 144

y = 12

tg alfa = y/x = 12/(-5) = - 2,4