Question

1. Zapisz wzór funkcji y = 2x² + 5x - 5 w postaci kanonicznej .
2. Rozwiąż równanie x³ - x² - x + 1 = 0
3. Dla jakich argumentów funkcja y = x² + 7x + 5 przyjmuje najmniejszą wartość. Oblicz tę wartość.
4. Znajdź współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji
y = x² + 2x - 3 z wykresem funkcji y = - 2x² + 2x + 6.
5. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = - 5x² - 3x -2.
Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
6. Rozwiąż równanie 2x³ + 2x² - 3x - 3 = 0
7.Określ monotoniczność funkcji y = x² - 3

Answer 1

1. Zapisz wzór funkcji y = 2x² + 5x - 5 w postaci kanonicznej .
a = 2
b = 5
c = -5
y = a( x -p)² +q

Δ = b² -4*a*c = 5² -4*2*(-5) = 25 +40 =65
p = -b:2a = (-5): 2*2 = (-5) :4 = -5/4
q = -Δ : 4a = (-65): 4*2 = (-65): 8 = - 65/8

y = 2(x +5/4)² -65/8

2. Rozwiąż równanie x³ - x² - x + 1 = 0
x³ - x² - x + 1 = 0
x²(x -1) -1(x -1) = 0
(x-1)( x² -1) = 0
(x-1)(x-1)(x +1) = 0
x -1 = 0, lub x-1 = 0, lub x +1 = 0
x = 1( II) , lub x = -1
x=1(II) - pierwiastek podwójny

3. Dla jakich argumentów funkcja y = x² + 7x + 5 przyjmuje najmniejszą wartość. Oblicz tę wartość.
Ponieważ jest to funkcja kwadratowa, jej wykkresem jest parabola ramionami skierowanymi do góry ( o czym świadczy dodatni współczynnik przy x²)
Najmniejszą wartością jest współrzedna q wierzchołka paraboli

W = (p, q)
W = ( -b/2a; -Δ/4a)

Δ = 7² -4*1*5 = 49 - 20 = 29
p = -b/2a = (-7): 2*1 = -7/2
q = -Δ :4a = (-29): 4*1 = -29/4

Funkcja przyjmuje wartość najmniejszą q = -29/4 dla argumentu p = -7/2

4. Znajdź współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji
y = x² + 2x - 3 z wykresem funkcji y = - 2x² + 2x + 6.

y = x² + 2x - 3
y = - 2x² + 2x + 6.
x² +2x -3 = - 2x² + 2x + 6
x² +2x -3 +2x² -2x -6 = 0
3x² -9 = 0
3(x² -3) = 0 /:3
x² -3 = 0
(x-√3)(x+√3) = 0
x =√3 lub x = -√3

y = x² + 2x - 3
y = (√3)² +2*√3 -3 = 3 +2√3 -3 = 2√3
lub

y = (-√3)² +2*(-√3) -3 = 3 -2√3 -3 = -2√3

Punktami przecięcia wykresów obu funkcji sa 2 punkty:
A = (√3; 2√3)
B = (-√3; -2√3)


5. Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli y = - 5x² - 3x -2.
W = (p,q)
p = -b/2a
q = -Δ/4a

Δ = (-3)² -4*(-5)*(-2) = 9 - 40 = -31

p = (3): 2*(-5) = -3/10
q = 31 : 4*(-5) = - 31/20

W = (-3/10; -31/20) - współrzedne wierzcholka paraboli

Zapisz wzór tej funkcji w postaci kanonicznej.
y = a(x -p)² + q
y = -5(x + 3/10)² - 31/20 - postac kanoniczna

6. Rozwiąż równanie
2x³ + 2x² - 3x - 3 = 0
2x²(x +1) -3(x +1) = 0
(x+1)( 2x² -3) = 0
(x+1)( √2x -√3)(√2x +√3) = 0
x +1 = 0, lub √2x -√3 = 0, lub √2x +√3 = 0
x = -1, lub x = √3 :√2, lub x = -√3 : √2
x = -1, lub x = √(3/2), lub x = -√(3/2)

7.Określ monotoniczność funkcji y = x² - 3

y = x² - 3
x² -3 = 0
(x -√3)(x+√3) = 0
x = √3, lub x = -√3 miejsca zerowe paraboli

W = (p,q) - wierzcholek paraboli
Δ = 0² -4*1*(-3) = 12
p = -b/2a = 0 /2*a = 0
q = -Δ/4a = (-12) : 4*1 = -3
W = (0, -3) - współrzedne wierzchołka paraboli

Parabola przecina oś Oy w punkcie P = (0, -3)

Parabola ramionami skierowana w górę
dla x ∈(-∞, 0) funkcja jest malejaca
dla x ∈ ( 0, +∞) funkcja jest rosnaca