Question

1. Zapisz w postaci przedziału zbiór tych liczb rzeczywistych, które spełniają równanie |1-x| = x-1

2. Wykaż, że dla xE<-2; > zachodzi równość |x+2|-|2x-3|= 3x-1.

3. Wykaż, że | 3 - 2 pierwiastki z 3| - 2 pierwiastki z 3, jest liczbą wymierną.

4. Rozwiąż równanie =

Answer 1

Zadanie 1

|1-x| = x-1

Rozpatrujemy dla dwóch przedziałów:

 

1° x ∈ (-∞; 1>

1-x = x-1

1+1 = x+x

2x = 2 |:2

x = 1

 

2° x ∈ (1; +∞)

-(1-x) = x-1

-1+x = x-1

x-1 = x-1

tożsamość, czyli cały przedział jest rozwiązaniem

 

Ostatecznie:

x ∈ {1}  (1; +∞)

x ∈ <1; +∞)

 

 

Zadanie 2

 

|x+2|-|2x-3| = 3x-1

Rozpatrujemy dla trzech przedziałów

(ponieważ na początku wyliczamy, dla jakich wartości x wartość wyrażenia "pod" wartością bezwzględną będzie równa zero:

1:

x+2 = 0

x = -2

2:

2x-3 = 0

2x = 3 |:2

x = 1,5):

 

1° x ∈ (-∞; -2)

-(x+2)-[-(2x-3)] = 3x-1

-x-2-(-2x+3) = 3x-1

-x-2+2x-3 = 3x-1

x-5 = 3x-1

x-3x = -1+5

-2x = 4 |:(-2)

x = -2 ∉ (-∞; -2)

czyli w tym przedziale x ∈ Ф (zbiór pusty)

 

2° x ∈ <-2: 1,5)

x+2-[-(2x-3)] = 3x-1

x+2-(-2x+3) = 3x-1

x+2+2x-3 = 3x-1

3x-1 = 3x-1

tożsamość, czyli rozwiązaniem jest cały przedział

 

3° x ∈ <1,5; +∞)

x+2-(2x-3) = 3x-1

x+2-2x+3 = 3x-1

-x+5 = 3x-1

5+1 = 3x+x

4x = 6 |:4

x = 1,5

 

Ostatecznie:

x ∈ Ф  <-2: 1,5)  {1,5}

x ∈ <-2; 1,5>

c. n. d.

 

 

Zadanie 3

 

Wyrażenie pod wartością bezwzględną jest liczbą ujemną.

Najłatwiej to udowodnić, "podstawiając" pod √3 przybliżenie. Mamy wtedy 3-2*1,73 = 3-3,46 = -0,46.

 

Z definicji wartości bezwzględnej mamy, że:

|x| = -x, gdy x < 0

 

Czyli:

|3-2√3|-2√3 (*) = -(3-2√3)-2√3 = -3+2√3-2√3 = -3

 

-3 jest liczbą wymierną, czy wartość wyrażenia (*) jest liczbą wymierną, c. n. d.

 

 

Zadanie 4