Question

1. Trójkąt prostokątny o przyprostokątnej a umieszczono na płaszczyźnie tak, że jego przyprostokątne zawierają sie w osiach układu współrzędnych. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkacie. Uwzględnij wszystkie możliwe przypadki.

2. Trójkąt równoboczny ABC o boku długości a umieszczono na płaszczyźnie tak, że jego wierzchołek jest poczatkiem układu współrzędnych, a drugi należy do osi x Wyznacz współrzędne środka okręgu wpisanego na tym trójkacie. Uwzględnij wszystkie możliwe przypadki.

Answer 1

Zad. 1
Środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest środek przeciwprostokątnej.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, które zawierają sie w osiach układu współrzędnych można umieścić w układzie współrzędnych na 4 sposoby - patrz załącznik i w ten sposób otrzymujemy 4 trójkąty: ABC, ACD, ADE i ABE. Środki okręgów opisanych na tych trójkątach to odpowiednio punkty: S₁, S₂, S₃ i S₄, które są środkami przeciwprostokątnej, zatem:

S₁ to środek boku BC w ΔABC o współrzędnych:


S₂ to środek boku CD w ΔACD o współrzędnych:


S₃ to środek boku DE w ΔADE o współrzędnych:


S₄ to środek boku BE w ΔABE o współrzędnych:


Zad. 2
Środkiem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny jest punkt przecięcia wysokości, które dzielą się w stosunku 2 : 1, licząc od wierzchołka.

Trójkąt równoboczny o boku a, którego wierzchołek jest początkiem układu współrzędnych, a drugi należy do osi OX można umieścić w układzie współrzędnych na 4 sposoby - patrz załącznik i w ten sposób otrzymujemy 4 trójkąty: ABC, ADE, AEF i ABG. Środki okręgów wpisanych w te trójkąty to odpowiednio punkty: S₁, S₂, S₃ i S₄, które leżą na odcinku będącym wysokością trójkąta w odległości ⅓ długości tej wysokości licząc od osi OX, czyli w odległości od osi OX, zatem:

S₁ to środek okręgu wpisanego w ΔABC o współrzędnych:


S₂ to środek okręgu wpisanego w ΔADE o współrzędnych:


S₃ to środek okręgu wpisanego w ΔAEF o współrzędnych:


S₄ to środek okręgu wpisanego w ΔABG o współrzędnych: