Question

1) Punkty A=(4;-6) i B=(0;2) są wierzchołkami trójkąta ABC. Oblicz pole tgeo trójkąta, jeśli jego wysokości prezcinają się w punkcie S=(1;-5)

Answer 1

A, B, C - wierzchołki trójkąta ABC

S - punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC

A = (4;- 6)

B = (0; 2)

S = (1; -5)

 

Wyliczymy współrzędne wierzchołka C:

- napiszemy równanie wysokości CS, czyli prostej prostopadłej do AB i przechodzącej przez punkt S

- napiszemy równanie prostej zawierającej jednen z boków trójkąta ABC np. AC, która jest prostopadła do BS i przechodzi przez A

- wyznaczymy punkt wspólny tych dwóch prostych, czyli wspólrzędne punktu C. 

 

Skorzystamy ze wzoru na równanie prostej prostopadłej do wektora v = [p, q] i przechodzącej przez punkt (x₀, y₀): p·(x - x₀) + q·(y - y₀) = 0

 

Równanie wysokości CS, czyli prostej prostopadłej do wektora AB i przechodzącej przez punkt S:

 

Równanie wysokości AC, czyli prostej prostopadłej do wektora BS i przechodzącej przez punkt A:

 

Szukamy punktu wspólnego otrzymanych prostych (punktu C), czyli rozwiązujemy układ równań:

 

 

 

Zatem punkt C ma współrzędne: C = (-3; -7)

 

Do obliczenia pola trójkąta ABC wykorzystamy wzór na pole trójkąta o wierzchołkach:

 

A = (4;- 6); B = (0; 2); C =  (-3; -7)

Odp. Pole trójkąta wynosi 30 j².