Question

1) Prostokąt o obwodzie 2p obracano dookoła jednego z boków tak, że powstał walec. Jakie wymiary powinien mieć prostokąt, aby objętość otrzymanego walca była maksymalna?

2) Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z podstawą walca kąt o mierze α=30 stopni. Oblicz długość tej przekątnej, wiedząc, że objętość tego walca jest równa objętości bryły powstałej przez obrót trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości 3 i 4 dookoła przeciwprostokątnej.

Mile widziana metoda zrobienia zadań. Dzięki.

Answer 1

1)
D = 2p
l - wysokość walca

V = πr²l
D = 2r + 2l = 2p
r + l = p
r = p - l

V = πr²l = π(p - l)²l = π[l³ - 2pl² + p²l]

to zadanie optymalizacyjne, ponieważ równanie jest 3 stopnia trzeba obliczyć pochodną

V = π * f(l)
f(l) = l³ - 2pl² + p²l
f'(l) = 3l² - 4pl + p²
Δ = 16p² - 12p²
√Δ = 2p
l₁ = (4p - 2p)/6 = p/3
l₂ = (4p + 2p)/6 = p

w przedziale (-nieskończoność, p/3) funkcja rośnie
w przedziale (p/3, p) funkcja maleje
w przedziale (p, +nieskończoność) funkcja rośnie

ekstema:
minimum p
maksimum p/3

z tego wynika, że f(l) osiąga maksimum dla l = p/3, czyli dla l = p/3 jest największe pole

wymiary
l = p/3 (oś obrotu)
r = 2p/3

2)
α = 30
c - przeciwprostokątna
h - wysokość tego trójkąta
d - przekątna walca
r - promień postawy walca
l - wysokość walca

c² = 3² + 4²
c² = 25
c = 5

1/2 3*4 = 1/2 5h
12 = 5h
h = 2,4

V = 1/3 πh²H₁ + 1/3 πh²H₂ = 1/3 πh²(H₁ + H₂) = 1/3 π(2,4)²c = 1/3 π(2,4)²5 = 1/3 π 28,8 = 9,6 π

V = πr²l
l = √(d² - 4r²)
cosα = 2r/d
r = ½ dcosα

V = πr²l
9,6 π = πr²l
9,6 π = πr²√(d² - 4r²)
9,6 π = π(½ dcosα)²√(d² - 4(½ dcosα)²)
9,6 = ¼ d²cos²α√(d² - d²cos²α)
38,4 = d²cos²α√[d²(1 - cos²α)]
38,4 = d³cos²α√(1 - cos²α)
38,4 = d³cos²α√(sin²α)
38,4 = d³cos²α sinα
d = ³√(38,4/cos²α sinα)

d = 4³√(0,6/cos²α sinα)