Question

1. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoramienny o podstawie 6 cm i wysokości 9 cm. Krawędzie boczne mają po 13 cm. Oblicz objętość i pole całkowite. 2. Oblicz objętość i pole całkowite ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 3 cm i krawędzi bocznej 6 cm.

Answer 1

z.1

a = 6 cm

h = 9 cm

b - długość  ramienia trójkąta równoramiennego

Mamy

( a/2)^2 + h^2 = b^2

3^2 +9^2 = b^2

b^2 = 81 + 9 = 90 = 9*10

zatem

b = p( 9*10) = 3 p(10)

----------------------------

Pole podstawy

Pp = (1/2) a*h = (1/2) 6*9 = 27

Pp = 27 cm^2

==============

R - promień okręgu opisanego na tym trójkącie

Mamy

P = ( a*b*c)/ ( 4 R);  

oraz  b = c = 3 p(10)

zatem

[ 6*3 p(10)* 3 p(10)]/[ 4*R ] = 27

[ 6*9*10]/ [ 4 *R ] = 27

60/[ 4 R ] = 3

4 R = 20

R = 5

R = 5 cm

=======

H  - wysokośc ostrosłupa

Mamy

R^2 + H^2 = B^2

5^2 + H^2 = 13^2

H^2 = 169 - 25 = 144

H = 12

H = 12 cm

=========

Objętość ostrosłupa

V = (1/3) Pp* H

V = (1/3) *27*12 = 108

V = 108 cm^3

=================

h1 - wysokość ściany bocznej większej

Mamy

( h1)^2 + ( b/2)^2 = B^2

( h1)^2 = 13^2 - ( 1,5 p(10))^2 = 169 - 22,5 = 146,5

h1 = p( 146, 5)

--------------------

h2 - wysokośc ściany bocznej mniejszej

Mamy

( h2)^2 + ( a/2)^2 = B^2

( h2)^2 = 169 - 3^2 = 160  =  16*10

h2 = 4 p(10)

-------------------

Pole powierzchni ostrosłupa

Pc = Pp + P1 + 2 P2

Pc = Pp + (1/2) a*h2 + 2 *(1/2) b*h1 = Pp + (1/2) a*h2 + b*h1

zatem

Pc = 27 + (1/2)*6 *4 p(10) + 3 p(10)*p( 146,5) = 27 + 12 p(10) + 3 p( 1465)

-----------------------------------------------------------------------------------------

Odp. 

V = 108 cm^3

Pc = [ 27 + 12 p(10) + 3 p(1465)] cm^2

=====================================

 

z.2

a = 3 cm

b = 6 cm

Mamy

r = a

zatem

h^2 + a^2 =  b^2

h^2 = 6^2 - 3^2 = 36 - 9 = 27 = 9*3

h = 3 p(3)  - wysokość ostrosłupa

----------------------------------------------

h1  - wysokość ściany bocznej ( trójkata równoramiennego )

Mamy

( h1)^2 + ( a/2)^2 = b^2

( h1)^2 = 6^2 - 1,5^2 = 36 - 2,25 = 33,75

h1 = p( 33,75) = 1,5 p(15)

------------------------------------

Objętość ostrosłupa

V = (1/3) Pp*h

==============

Pp = 6* a^2 p(3)/4 = 1,5 a^2 p(3) = 1,5 *3^2 * p(3) = 13,5 p(3)

zatem

V = ( 1/3)* 13,5 p(3)* 3 p(3) = 40,5

----------------------------------------------

Pole powierzchni całkowitej

Pc = Pp + Pb = Pp + 3*(1/2) a*h1

zatem

Pc = 13,5 p(3) + 1,5 *3 *1,5 p(15) = 13,5 p(3) + 6,75 p(15) = 6,75*[ 2 p(3) + p(15)]

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Odp.

V = 40,5 cm^3

Pc = 6,75 *[ 2 p(3) + p(15) ]  cm^2

===============================