Question

1. oblicz wzajemne połozenie okręgów o równaniach:

a) (x-1)²+y²=1 (x-3)²+y²=9

b) x²+(y-1)²=4 (x-2)²+(y-5)²=49

f) x²+y²-4x+4y-8=0 x²+y²-10x-4y+28=0

Answer 1

a)  (x-1)²+y²=1       ,   O₁(1,0) ,  r₁= 1

     (x-3)²+y²=9       ,   O₂(3,0),   r₂= 3

            I O₁O₂ I = 2,   Ir₁-r₂I = I1-3I = 2

IO₁O₂I = Ir₁-r₂I ,   czyli okręgi są styczne wewnętrznie.

b)   x²+(y-1)²=4  ,     O₁(0,1),  r₁= 2

      (x-2)²+(y-5)²=49,   O₂(2,5),  r₂=7

        IO₁O₂I =√[(2-0)²+(5-1)²] = √(4+16) = √20=√(4·5)= 2√5

       r₁+r₂= 2+7=9,       Ir₁-r₂I = I2-7I = 5

        IO₁O₂I < Ir₁-r₂I  ,  czyli okręgi są rozłączne wewnętrznie.

f)  x²+y²-4x+4y-8=0,     x²+y²-2ax-2by+c=0

   Z przyrównania współczynników mamy:

     -2a=-4   /:(-2)               -2b=4  /:(-2)           c=-8

        a=2                               b= -2

      O₁(2,-2),    r₁= √(a²+b²-c) = √(2²+(-2)²+8) = √(4+4+8)= √16=4

    x²+y²-10x-4y+28=0

         -2a=-10             -2b=-4                c=28

            a= 5                  b= 2

       O₂(5,2),   r₂= √(5²+2²-28) = √(25+4-28) = √1 = 1

      IO₁O₂I = √[(5-2)²+(2+2)²] = √(9+16)= √25=5

       r₁+r₂= 4+1=5,       Ir₁-r₂I = I4-1I = 3

     IO₁O₂I = r₁+r₂,   czyli okręgi są  styczne zewnętrznie.