znaleśc ekstrema funkcji trzech zmiennycha)f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3(x+y+z)b)f(x,y,z)= x+(y^3)/4x + (z^.... Question from @mariuszp52

September 2018 1 43 Report

znaleśc ekstrema funkcji trzech zmiennych

a)f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3(x+y+z)

b)f(x,y,z)= x+(y^3)/4x + (z^2)/y+ 2/z

Proszę o dokładny opis czynności jakie wykonujemy i o przedstawienie macierzy w jaka wstawiany otrzymane wyniki ( najlepiej najpierw w formie a,b,c) żebym wiedział na jakie miejsce jaką wartośc podstawiamy.

cyfra

liczymy gradnient funkcji:

$\left[3x^2 - 3, 3y^2 - 3, 3z^2 - 3\right]$

warunkek konieczny istnienia ekstremum w punkcie:

$\left[3x^2 - 3, 3y^2 - 3, 3z^2 - 3\right] = [0, 0, 0]\\ \begin{cases} 3x^2 - 3 = 0\\ 3y^2 - 3 = 0\\ 3z^2 - 3 = 0\end{cases}\\ (x, y, z ) \in \{(x, y, z) \in R^3: x, y, z \in \{-1, 1\}\}\\ f(1, 1, 1) = -6\\ f(-1, -1, -1) = 6\\ f(1, -1, -1) = f(-1, 1, -1) = f(-1, -1, 1) = 2\\ f(1, 1, -1) = f(-1, 1, 1) = f(1, -1, 1) = -2$

teraz wystarczy sprwdzić, które z nich to rzeczywiście ekstrema:

f(1, -1, -1) = f(-1, 1, -1) = f(-1, -1, 1) = 2

f(1, 1, -1) = f(-1, 1, 1) = f(1, -1, 1) = -2

Tutaj prosto nsprawdzić, że pochodna zmiennej która osiąga ujemną wartość (-1) wskazuje istnienie minimum, a pochodna zmiennej która osiąga dodatnią (1) wartość wskazuje istnienie maksimum - stąd w rzadnym z tych 6 punktów nie może być ekstremum.

aby sprawdzić pozostałe punkty przyjżymy się macierzy drugich pochdnych:

$\left[\begin{array}{ccc}6x&0&0\\0&6y&0\\0&0&6z\end{array}\right]\\ a = det[6x] = 6x\\ b = det\left[\begin{array}{cc}6x&0\\0&6y\end{array}\right] = 36xy\\ c = det\left[\begin{array}{ccc}6x&0&0\\0&6y&0\\0&0&6z\end{array}\right] = 216xyz\\ \\ (x, y, z) = (1, 1, 1)\\ a, b, c > 0\\ minimum\\ \\ (x, y, z) = (-1, -1, -1)\\ a, c < 0, b > 0\\ maksimum$

czy to są ekstrema globalne?

nie, ponieważ wystsarczy zbadać granice w nieskończoności funcji $g(x) = x^3 - 3x$ aby zobaczyć, że funkcja może przyjmować dolnie małe lub dowolnie duże wartości

dziedzina:

$R\backslash\{(x, y, z) \in R^3: x = 0 \vee y = 0 \vee z = 0\}$

liczymy gradnient funkcji:

$\left[1 - \frac{y^3}{4x^2}, \frac{3y^2}{4x}-\frac{z^2}{y^2}, \frac{2z}{y} - \frac{2}{z^2}\right]$

warunkek konieczny istnienia ekstremum w punkcie:

$\left[1 - \frac{y^3}{4x^2}, \frac{3y^2}{4x}-\frac{z^2}{y^2}, \frac{2z}{y} - \frac{2}{z^2}\right] = [0, 0, 0]\\ y^3 = 4x^2 \wedge z^3 = y \wedge 3y^4 = 4xz^2\\ 3y^4 = 2y^{\frac{3}{2}}*y^{\frac{2}{3}} = 2y^{13}{6}\\ \frac{3}{2} = y^{\frac{13 - 24}{6}} = y^{\frac{-11}{6}}\\ y = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{6}{11}}\\ x = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{9}{11}}\\ z = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{2}{11}}$

z pierwszego równania mamy y dodatnie, z drugiegio z dodatnie, z ostatniego x dodatnie

liczymy macierz drugich pochodnych, warunek dostateczny istnienia ekstremum w punkcie:

$\left[\begin{array}{ccc}\frac{y^3x}{2x^4}&-\frac{3y^2}{4x^2}&0\\ -\frac{3y^2}{4x^2}&\frac{3y}{2x} + \frac{2yz^2}{y^4}&-\frac{2z}{y^2}\\0&-\frac{2z}{y^2}&\frac{2}{z} + \frac{4z}{z^4}\end{array}\right]$

$det\left[\frac{y^3x}{2x^4}\right] > 0$

$det\left[\begin{array}{ccc}\frac{y^3x}{2x^4}&-\frac{3y^2}{4x^2}\\ -\frac{3y^2}{4x^2}&\frac{3y}{2x} + \frac{2yz^2}{y^4}\end{array}\right] = \frac{3y^4x}{2x^5} + \frac{2xy^4z^2}{2x^4y^4} - \frac{9y^4}{16x^4} = \frac{3y^4}{2x^4} + \frac{xz^2}{x^4} - \frac{9y^4}{16x^4} = \frac{24y^4+16xz^2-9y^4}{16x^4}>0$

$det\left[\begin{array}{ccc}\frac{y^3x}{2x^4}&-\frac{3y^2}{4x^2}&0\\ -\frac{3y^2}{4x^2}&\frac{3y}{2x} + \frac{2yz^2}{y^4}&-\frac{2z}{y^2}\\0&-\frac{2z}{y^2}&\frac{2}{z} + \frac{4z}{z^4}\end{array}\right] = \left(\frac{3y^4}{2x^4} + \frac{xz^2}{x^4}\right)\left(\frac{2}{z} + \frac{4z}{z^4}\right) - \frac{9y^4}{16x^4}\left(\frac{2}{z} + \frac{4z}{z^4}\right)$

$- \frac{4xy^3z^4}{2x^4y^4} = \frac{24y^4+16xz^2-9y^4}{16x^4}*\left(\frac{2}{z} + \frac{4z}{z^4}\right) - \frac{2z^4}{x^3y} =$

$= \frac{15y^4+16xz^2}{16x^4}*\frac{4z+2z^3}{z^4} - \frac{2z^4}{x^3y} = \frac{2z}{16x^4z^4y}\left(30y^5 + 15y^5z^2 + 32xz^2y + 16xz^4y - 16x*z^7\right) = \frac{2z}{16x^4z^4y}\left(30y^5 + 15y^5z^2 + 32xz^2y + 16xz^4y - 16x*z^4y\right) > 0\\ minimum$

czy to jest ekstremum globalne?

nie, ponieważ wystsarczy zbadać granice w nieskończoności funcji $g(y) = f(1, y, 1) = 3 + \frac{y^3}{4} + \frac{1}{y}$ aby zobaczyć, że funkcja może przyjmować dolnie małe lub dowolnie duże wartości