Question

Znajdź wszystkie pary liczb całkowitych x i y spełniających równanie:

a) x + y pierwiastek z 3 = 1

b) (2- pierwiastek z 5) x + (3 - pierwiastek z 5) y = 2

Answer 1

a)x, y ∈ C

x + y √3 = 1

y √3 = 1 - x

Po prawej stronie równości mamy 1 - x, czyli róznicę licz całkowitych i ona jest również całkowita.

Po lewej stronie równości mamy y √3, czyli iloczyn liczby całkowitej i niewymiernej i ona jest całkowita tylko wtedy, gdy y = 0, zatem mamy

y = 0 wtedy

0 = 1 - x

x = 1

Odp. Jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest para (x, y) = (1, 0).

 

b) x, y ∈ C

(2 - √5) x + (3 - √5) y = 2

Zał. x + y ≠ 0

2x - √5x + 3y - √5y = 2

-√5x - √5y = 2 - 2x - 3y

-5(x + y) = - 2x - 3y + 2 /·(-1)

√5(x + y) = 2x + 3y - 2  /:(x + y)

Po prawej stronie mamy iloraz liczb całkowitych, czyli liczbę wymierną, a po lewej √5, który jest liczbą niewymierną, zatem mamy sprzeczność.

Stąd wniosek, że x + y = 0

x + y = 0

x = - y

(2 - √5) x + (3 - √5) y = 2

(2 - √5)(- y) + (3 - √5) y = 2

-2y + √5y + 3y - √5y = 2

y = 2

x = - 2

Odp. Jedynym rozwiązaniem wyjściowego równania jest para (x, y) = (-2, 2).