Question

Znajdż taki punkt D, aby czworokąt ABCD był trapezem równoramiennym, jeśli A(1;3) B(9;7) C(9;2).

Answer 1

A = ( 1; 3),  B = (9; 7), C = (9; 2)

Równanie pr AB:

y = ax + b

3 = 1*a + b

7 = 9*a + b

-------------------  odejmujemy stronami

7 - 3 = 9a - a

4 = 8a  / : 8

a = 4/8 = 1/2

b = 3 - a = 3 - 1/2 = 2  1/2 = 5/2

Prosta AB ma równanie

y = (1/2) x + 5/2    lub         y = 0,5 x + 2,5

=======================================

Prosta CD jest równoległa do pr AB i przechodzi przez punkr  C = (9; 2)

zatem

y = (1/2)x + b1

Podstawiamy 9 za x  oraz  2  za y :

2 = (1/2)*9 + b1

2 = 4,5 + b1

b1 = 2 - 4,5 = - 2,5

Prosta CD ma rownanie

y = 0,5 x - 2,5

===============

Obliczam długośc ramienia BC

Mamy

I BC I^2 = ( 9 -9)^2 + (2 - 7)^2 = 0^2 + (-5 )^2 = 0 + 25

zatem

I BC I = 5

========

Ramię AD też ma długość I AD I = 5 , bo trapez jest równoramienny.

Niech  D = (x ; y) = ( x; 0,5 x -2,5)

zatem

I AD I^2 = ( x -1)^2 + (y - 3)^2

I AD I^2 = x^2 - 2x + 1 + ( 0,5x -2,5 -3)^2

I AD (^2 = x^2 -2x + 1 + ( 0,5 x - 5,5)^2

I AD I^2 = x^2 - 2x + 1 + 0,25 x^2 - 5,5x + 30,25

I AD I^2 = 1,25 x^2 -7,5x + 31,25

ale I AD I^2 = 5^2 = 25

zatem mamy

1,25x^2 - 7,5 x +31,25 = 25

1,25 x^2 - 7,5 x + 6,25 = 0

delta = 56,25 - 4*1,25 *6,25 = 56,25 - 31,25 = 25

x = [ 7,5 - 5]/2,5 = 2,5 / 2,5 = 1- odpada, bo dla x = 1 mamy równoległobok

lub

x = [ 7,5 + 5]/2,5 = 12,5 / 2,5 = 5

y = 0,5 x - 2,5 = 0,5*5 - 2,5 = 1,5 - 2,5 = 0

Odp. D = (5 ; 0 )

==================