Question

Zbadaj monotoniczność danego ciągu an, gdzie n należy do N+. Następnei wyznacz największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz an ciągu spełnia warunek a mniejsze lub równe od an mniejsze lub równe od b.

Answer 1

Najpierw znajdźmy te a i b;

nietrudno zauważyć, że:
, zatem 1 jest kresem górnym ciągu an
Teraz rozbijmy ciąg an na dwa podciągi -> an z indeksami parzystymi i an z indeksami nieparzystymi
an z in. parzystymi wyrażają się takim wzorem: , widzimy, że ten podciąg jest rosnący, zatem minimum przyjmuje dla n=2, czyli to minimum wynosi 
podobnie an z in. nieparzystymi tworzą ciąg rosnący i wyglądają tak:
oraz minimum przyjmuje dla n=1, czyli 
Zatem kresem dolnym całego ciągu an jest 
czyli 
Co do monotoniczności to jest ona "skoczna" tzn. rośnie, maleje, rośnie, maleje (jak np. 1,2,1,2,1,2....). Wynika to z tego, że dla każdego n∈N