Dany jest nieskończony ciąg (an), gdzie an = Ciągi (bn) i (cn) są określone następująca: bn= a) Wyk.... Question from @Deltamax

January 2019 1 34 Report

Dany jest nieskończony ciąg (an), gdzie an = $\frac{(-1)^n(n+1)}{2n-1}$
Ciągi (bn) i (cn) są określone następująca: bn= $a_{2n}, cn= a_{2n-1}$

a) Wykaż, że ciągi bn i cn są monotniczne. (z definicji)
b) Wyznacz najwięszką liczbę a i namniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz an ciągi (an) spełnia warunek $a \leq a _{n} \leq b$
c) Czy ciąg (an) jest zbieżny? Odpowiedź uzasadnij.

loitzl9006 $b_n=\frac{(-1)^{2n}\cdot(2n+1)}{4n-1}=\frac{[(-1)^2]^n\cdot(2n+1)}{4n-1}=\frac{1^n\cdot(2n+1)}{4n-1}=\frac{2n+1}{4n-1}\\ c_n=\frac{(-1)^{2n-1}\cdot(2n-1+1)}{2(n-1)-1}=\frac{-1\cdot2n}{2n-2-1}=\frac{-2n}{2n-3}$

$b_{n+1}=\frac{2(n+1)+1}{4(n+1)-1}=\frac{2n+2+1}{4n+4-1}=\frac{2n+3}{4n+3}\\ b_{n+1}-b_n=\frac{2n+3}{4n+3}-\frac{2n+1}{4n-1}=\frac{(2n+3)(4n-1)-(2n+1)(4n+3)}{(4n+3)(4n-1)}=\\ =\frac{8n^2-2n+12n-3-8n^2-6n-4n-3}{(4n+3)(4n-1)}=\frac{-6}{(4n+3)(4n-1)}\\ -6\ \textless \ 0\\ (4n+3)(4n-1)\ \textgreater \ 0\\ n_1=-\frac34, \ \ n_2=\frac14\ \to \ n\in (-\infty,-\frac34)\cup\underbrace{(\frac14,+\infty)}_{N_+}\\ \forall_{n\in N_+} \ b_{n+1}-b_n=\frac{-6}{(4n+3)(4n-1)}\ \textless \ 0\ \to \ b_n\ jest \ monotoniczny \\ (malejacy)$

$c_{n+1}=\frac{-2(n+1)}{4(n+1)-3}=\frac{-2n-2}{4n+4-3}=\frac{-2n-2}{4n+1}\\ c_{n+1}-c_n=\frac{-2n-2}{4n+1}+\frac{2n}{4n-3}=\frac{(-2n-2)(4n-3)+2n(4n+1)}{(4n+1)(4n-3)}=\\ =\frac{-8n^2+6n-8n+6+8n^2+2n}{(4n+1)(4n-3)}=\frac6{(4n+1)(4n-3)}\\ (4n+1)(4n-3)\ \textgreater \ 0\ \to n\in(-\infty,-\frac14)\cup\underbrace{(\frac34,+\infty)}_{n\in N_+}\\ \forall_{n\in N_+}c_{n+1}-c_n=\frac6{(4n+1)(4n-3)}\ \textgreater \ 0\ \to \ c_n \ jest \ monotoniczny \\ (rosnacy)$

b)
$a_1=\frac{(-1)^1\cdot(1+1)}{(2\cdot1-1)}=\frac{-1\cdot2}1=-2\\ a_2=\frac{(-1)^2\cdot(2+1)}{(2\cdot2-1)}=\frac{1\cdot3}3=1\\ a_3=\frac{(-1)^3\cdot(3+1)}{(2\cdot3-1)}=\frac{-1\cdot4}5=-\frac45\\ ...\\ \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n-1}= \lim_{n \to \infty}\frac{n(1+\frac1n)}{n(2-\frac1n)}= \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac1n}{2-\frac1n}=\frac{1+0}{2-0}=\frac12\\ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\frac{(-1)^n(n+1)}{2n-1}=\pm\frac12$

wyrazy ciągu $a_n$ należą do przedziału $\langle-2,1\rangle$ , więc $a=-2, \ b=1$

c)
nie jest zbieżny, bo co prawda $\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac12$ co wskazuje że będzie zbieżny, ale czynnik $(-1)^n$ sprawia, że wyrazy dla $n\to +\infty$ przyjmują wartość $\frac12$ bądź $-\frac12$ , zależnie od tego, czy n jest parzyste czy nieparzyste. Dlatego ciąg $a_n$ nie jest zbieżny.

7 votes Thanks 8

Rowiązaniem rówanania =6 jest liczba... (chodzi o logarytmy)

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

Zbadaj monotoniczność danego ciągu an, gdzie n należy do N+. Następnei wyznacz największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz an ciągu spełnia warunek a mniejsze lub równe od an mniejsze lub równe od b.

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

W okręgu poprowadzono cięciwy AB i CD, które przeciętły się w punkcie P. Zakładamy, że PC=PD oraz AP=9, PD=4. Wówczas trójkąt APC jest podobny do trójkąta DPD w skali...

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli przeciwległe ramię na odcinki długości 5cm i 4cm, licząc od wierzchołka trójkąta między ramionami. Tak więc podstawa tego trójkąta ma długość....

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

W trapez prostokątny można wpisać okrąg o pormieniu r. Jeśli dłuższe ramię tego trapezu ma długość c, to pole trapezu jest równe...

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

Dane są dwa okręgi O1 - ośrodku w punkcie O1 i promieniu 3 oraz O2 - o środku w punkcie O2 i promieniu 4-m. Przyjmujemy, że O1O2=5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których te okręgi się przecinają

Answer

Deltamax January 2019 | 0 Replies

W prostokącie ABCD punkt D leży 3cm od przekątne AC. Jeśli AD= pierwiastek z 10, to promień okręgu pisanego na prostokącie ABCD jest równy..... Proszę o obliczenia, prawidłowa odpowiedź to 5

Answer

deltamax November 2018 | 0 Replies

Rowiązaniem rówanania =6 jest liczba... (chodzi o logarytmy)

Zbadaj monotoniczność danego ciągu an, gdzie n należy do N+. Następnei wyznacz największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz an ciągu spełnia warunek a mniejsze lub równe od an mniejsze lub równe od b.

W okręgu poprowadzono cięciwy AB i CD, które przeciętły się w punkcie P. Zakładamy, że PC=PD oraz AP=9, PD=4. Wówczas trójkąt APC jest podobny do trójkąta DPD w skali...

W trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie dzieli przeciwległe ramię na odcinki długości 5cm i 4cm, licząc od wierzchołka trójkąta między ramionami. Tak więc podstawa tego trójkąta ma długość....

W trapez prostokątny można wpisać okrąg o pormieniu r. Jeśli dłuższe ramię tego trapezu ma długość c, to pole trapezu jest równe...

Dane są dwa okręgi O1 - ośrodku w punkcie O1 i promieniu 3 oraz O2 - o środku w punkcie O2 i promieniu 4-m. Przyjmujemy, że O1O2=5. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których te okręgi się przecinają

W prostokącie ABCD punkt D leży 3cm od przekątne AC. Jeśli AD= pierwiastek z 10, to promień okręgu pisanego na prostokącie ABCD jest równy..... Proszę o obliczenia, prawidłowa odpowiedź to 5

Dlaczego a2+b2=c2 (twierdzenie pitagorasa) NIE JEST zdaniem logicznym?

Podziel słowo RODZINA, na głoski. + wytłumacz czy "i" stanowi w tym wyrazie zmiękczenie, czy nie i dlaczego

Jaka jest procedura na ZAMALOWANY kwadrat w Logo Imagine?

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social