Question

Zbadaj ilość ekstremów funkcji f(x) = ax^3 + x^2 + x + b w zależności od parametru a i b, gdzie a rózne od 0.

Answer 1

F'(x)=3ax^2 + 2x + 1         jak widać współczynnik b nie jest wg brany pod uwagę tworząc pochodną więć b∈R ( nie ważne co tam podstawisz)

Aby były obecne ekstrema muszą być spełnione 2 warunki
1. pochodna funkcji musi się w tym punkcie zerować
2. pochodna musi zmieniać znak 

co do pierwszego

f'(x)=0⇔ 3ax^2 +2x +1 =0      Δ=4-4*3a*1=4-12a 

ilość estremów zależy więc od Δ czyli gdy Δ=0 jest 1 rozwiązanie
Δ>0    są 2 rozwiązania
Δ<0 brak rozwiązań

nie ma ekstremów gdy 
4-12a<0
-12a<-4
a>1/3
b∈R
1 ekstremum
4-12a=0
-12a=-4
a=1/3
b∈R

2 ekstrema gdy
4-12a>0
-12a>-4
a<1/3
b∈R