Question

Dany jest wykres funkcji y=x^2 , dla x≥0. Prosta l styczna do tego wykresu wraz z prostymi x=0, y=4, y=0 wyznacza trapez. Oblicz współrzędne takiego
punktu styczności, by ten trapez miał najmniejsze pole.

Answer 1

Powstanie trapez prostokątny o wierzchołkach:
A = (0,0)
B = (e,0)
C = (f,4)
D = (0,4)

Pole trapezu:
P = 1/2*(a+b)*h
a = |AB|
b = |CD|
h = |AD|

|AB| = √((e-0)² + (0-0)²) = e
|CD| = √((0-f)² + (4-4)²) = f
|AD| = √((0-0)²+(4-0)²) = 4

P = 1/2*(e+f)*4 = 2(e+f)

Prosta l jest styczna do krzywej w punkcie E = (c,d). Ponieważ punkt E leży na wykresie funkcji y = x^2 możemy przyjąć że d = c^2
E = (c, c^2)
Pochodna funkcji y :
(x^2)' = 2x
Wartośc pochodnej w punkcie E  wynosi 2c
Wzór na równanie stycznej w punkcie (x0,f(x0)):
y - f(x0) = f'(x0)*(x-x0)
Równanie stycznej do funkcji y = x^2 w punkcie E:
y-c^2=2c(x-c)
y - c^2 = 2cx - 2c^2
y = 2cx  - 2c^2 + c^2
y = 2cx -c^2
Pynkty B i C leżą na tej prostej.
B = (e,0)
czyli dla x = e
y = 0
0 = 2c*e- c^2
2ce = c^2
e = c/2

C = (f,4)
czyli dla x = f
y = 4
4 = 2c*f -c^2
2cf =4+c^2
f = (4+c^2)/2c

P = f(c) = 2(e+f) =2(c/2 + (4+c^2)/2c) = c+(4+c^2)/c = (c^2+4+c^2)/c
f(c) = (2c^2+4)/c

f'(c) = [4c*c-(2c^2+4)*1]/c^2 = (4c^2-2c^2-4)/c^2 = (2c^2-4)/c^2
f'(c) = 0
gdy
2c^2-4 = 0
2c^2 = 4  |:2
c^2 = 2
c1 = -√2 - odpada gdyż wimy, że trapez znajduje się w pierwszej ćwiartce
c2 = √2

Rozwiązanie c2 jest podejrzane o istnienie ekstremum
f'(c)>0 gdy
2c^2-4>0
c∈ (-∞;-√2)∨(√2;∞)
W punkcie c2 pochodna ( wartosć pochodnej funkcji) zmienia znak z "-" na "+" więc w punkcie tym mamy minimum.

E = (c,d) = (c,c^2)
c = √2
d = 2
E = (√2,2)