Asymptoty wykresu funkcji przecinają parabolę o równaniu w punktach A, B, ,C gdzie rzędna C jest uje.... Question from @Alexpini

January 2019 1 18 Report

Asymptoty wykresu funkcji
$\frac{x^{2}+3x}{x-1}$ przecinają parabolę o równaniu $y=-x^2-4x$ w punktach A, B, ,C gdzie rzędna C jest ujemna. Wyznacz współrzędne punktu D, należącego do łuku AB paraboli, aby pole czworokąta ABCD było największe

Paawełek 1. Wyznaczasz asymptoty funkcji. Pionowa jest dla iksów które nie są w dziedzinie (więc dla x=1). Ponieważ:
$\lim\limits_{x\to 1} \dfrac{x^2+3x}{x-1}=\left[ \dfrac{4}{0}\right]=\pm \infty$
jest niewłaściwa, więc prosta x=1 jest pionową asymptotą.

Pozioma ma wzór y=ax+b. Współczynniki wyznaczasz ze wzoru:

$a=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2+3x}{x^2-x}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{1+\frac{3}{x}}{1-\frac{1}{x}}=1$

(zauważ, że do -nieskończoności granica wynosi tyle samo)

$b=\lim\limits_{x\to \infty} (f(x)-ax)=\lim\limits_{x\to \infty} \left(\dfrac{x^2+3x}{x-1}-x\right)= \\ \\ = \lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{x^2+3x-x^2+x}{x-1}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{4x}{x-1}=\lim\limits_{x\to \infty} \dfrac{4}{1-\frac{1}{x}}=4$

(do -nieskończoności wynosi tyle samo)

więc asymptotą poziomą jest prosta o równaniu y=x+4

Rysujesz te asymptoty w układzie współrzędnych oraz parabolę (załącznik)

Podczas samego rysowania odczytać można, że A=(-4,0) oraz że B=(-1,3). Współrzędne punktu C są nawet nieważne. Ponieważ punkt D leży na łuku AB, to pole trójkąta ABC będzie zawsze stałe. maksymalizując pole czworokąta ABCD wystarczy więc zmaksymalizować pole trójkąta ABD. Ponieważ ten trójkąt ma stały bok AB, to wystarczy zmaksymalizować jego wysokość h.

Czym jest wysokość? Wysokość to oczywiście odległość punktu D od prostej y=x+4. Więc wystarczy wyznaczyć odległość od prostej

$-x+y-4=0 \qquad \hbox{Do punktu} \qquad D(x,-x^2-4x) \\ \\ \hbox{Ze wzoru na odleglosc punktu od prostej:} \\ \\ h=\dfrac{-1 \cdot x+1 \cdot (-x^2-4x)-4}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}= \dfrac{-x-x^2-4x-4}{\sqrt{2}}= \\ \\ = \dfrac{-x^2-5x-4}{\sqrt{2}}$

Ponieważ A=(-4,0) oraz B=(-1,3) to aby punkt D należał do łuku AB musimy dodatkowo przyjąć że jego pierwsza współrzędna należy do zbioru (-4, -1)
Wystarczy wyznaczyć dla jakiego "x" jest maksimum tej paraboli w liczniku:

$x_{max}=-\dfrac{b}{2a}=- \dfrac{-5}{-2}=-\dfrac{5}{2}$

To pierwsza współrzędna punktu D. Druga wynosi:

$-\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2-4 \cdot \left( -\dfrac{5}{2}\right)=-\dfrac{25}{4}+\dfrac{20}{2}=\dfrac{40}{4}-\dfrac{25}{4}=\dfrac{15}{4} \\ \\ \\ \hbox{Stad} \ \ D=\left(-\dfrac{5}{2},\dfrac{15}{4}\right)$