Question

Zbadaj, czy muszą być podobne dwa prostokąty, w których:

a) stosunek długości jednego z boków do długości przekątnej jest w obu przypadkach taki sam ;

b)przekątne przecinają siępod tym samym kątem

c) różnica długości sąsiednich boków w jednym z prostokątów jest dwa razy mniejsza od sumy długości boków w drugim prostokącie

d) suma długości boków w jednym z prostokątów jest dwa razy mniejsza od sumy długości boków w drugim prostokącie.

i uzasadnij

Answer 1

a) tak

niech wpierwszym prostokącie a to długość jednegoboku, a' drugiego, a p do długość przekątnej, w drugim b to długość jednego boku, b' to długość drugiego i q to długość przekątnej

 

chcemy uzyskać a/b=a'/b'

 

mamy a/p=b/q

stąd

p=aq/b wiadomo, że wszystkie długości są większe od zera, więc możemy tak zapisać'

 

z tw pitagorasa dla pierwszego prostokąta, dla trójkąta wyznaczonego przezdwa boki i przekątną mamy

a'²=p²-a²

analogicznie dla drugiego prostokąta

b'²=q²-b²

 

podstawiając wcześniej wyliczone p mamy

a'²=[(a²q²)/b²]-a²

oraz b'²=q²-b²

liczymy proporcję

a'²/b'²={[a²(q²-b²)]/b²}/(q²-b²)

a'²/b'²=a²/b²

skoro wszystkie długości sądodatnie to

a'/b'=a/b

 

b) tak, ale chyba to oczywiste,ponieważ przekątne wvprostokącie sąvzawsze równej długości i przecinająvsię w połowie

 

c) nie 

np. pierwszy trójkąt ma boki długości 9 i 1 a drugi 15 i 1 nie są podobne

(jeżelidobrze zrozumiełam zadanie,bonie jest do końca sprecyzowane)

 

d) nie

pierwszy trójkąt ma boki długości 6 i 1 a drugi 13 i 1 nie są podobne, a spełniają warunki