Question

Zapisz następujące wyrażenia w prostszej postaci (a to alfa)
1) cos a + cos a * tg²a
2) sin a + cos a * ctg a
3) (cos a + tg a * sin a) * ctg a
Nie muszą być wszystkie przykłady, chociaż dobrze by było ;)
Z góry dziękuję

Answer 1

Zapisz następujące wyrażenia w prostszej postaci (a to alfa)
Korzystam ze wzorów :
sin²α + cos²α = 1 ( jedynka trygonometryczna)
tg α = sin α : cos α
tg²α = sin²α : cos²α
ctg α = cos α : sin α


1) cos a + cos a * tg²a
= cosα + cos α* (sin²α: cos²α) =
= cosα + sin²α : cosα=
sprowadzam do wspólnego mianownika : cosα
= (cosα*cosα + sin²α) : cosα =
= (cos²α + sin²α) : cosα=

(cos²α + sin²α = 1 ( jedynka trygonometryczna)
= 1: cosα=
= 1/cosα

2) sin a + cos a * ctg a
= sinα + cosα*cosα : sinα =
sprowadzam do wspólnego mianownika: sin α
= (sin²α + cos²α) : sin α =
= 1 : sin α=
= 1/ sinα

3) (cos a + tg a * sin a) * ctg a=
= [cos α + (sin α : cos α * sin α )* cosα : sin α=
= [ cos α + sin²α : cos α]*cos α : sin α=
w nawisie [ ] sprowadzam do wspólnego mianownika: cos α
= [ (cos α* cos α + sin²α) : cos α ] * cos α* sin α =
= [ (cos²α + sin²α) : cos α] * cos α* sin α =
= (1 : cos α)* cos α* sinα=
= 1 : sin α =
= 1/ sin α

Answer 2

Zad. 1)

cosα + cosα * tg²α = cosα*(1 + tg²α)=

= cosα*[1 + (sinα/cosα)²] =

= cosα*(1 + sin²α/cos²α) =

= cosα*[(cos²α + sin²α)/cos²α] =

= cosα*(1/cos²α) =

= cosα/cos²α) =

= 1/cosα

Zad. 2)

sinα + cosα*ctgα = sinα + cosα*(cosα/sinα) =

= sinα + cos²α/sinα =

= (sin²α + cos²α)/sinα =

= 1/sinα

Zad. 3)

1/sin²α * (1 - cos²α) = 1/sin²α*(sin²α + cos²α - cos²α) =

= 1/sin²α*sin²α =

= 1

Zad. 4)

(cosα + tgα*sinα)*ctgα = [cosα + (sinα/cos)*sinα]*(cosα/sinα) =

= (cosα + sin²α/cosα)*(cosα/sinα) =

= [(cos²α + sin²α)/cosα]*(cosα/sinα) =

= (1/cosα)*(cosα/sinα) =

= 1/sinα

Answer 3

Zapisz następujące wyrażenia w prostszej postaci (a to alfa)
1) cos a + cos a * tg²a

cos a + cos a * sin²a/cos²a=

cos a + sin²a/cosa=

cos a + (1-cos²a)/cosa=

cos a + 1/cos a-cosa=

1/cos a
2) sin a + cos a * ctg a=

sin a + cos a * cos a/sin a=

sin a +  cos ²a/sin a=

sin a +(1-  sin ²a)/sin a=

sin a +1/sin a -  sina=

1/sin a 
3) (cos a + tg a * sin a) * ctg a=

(cos a + sin a/cos a * sin a) * cos a/sin a=

(cos a + sin² a/cos a) * cos a/sin a=

(cos² a + sin² a)/cos a * cos a/sin a=

1/sin a