Zadanie w załączniku - całki :) Potrzebne na jutro :).... Question from @Ilikeeeyou

December 2018 1 25 Report

Zadanie w załączniku - całki :) Potrzebne na jutro :)

Paawełek 1. Całkować będę przez części
$u=x \qquad dv=\sin x \\ \\ du=dx \qquad v=\int \sin x dx=-\cos x \\ \\ \int x \sin x dx = \int udv = uv - \int vdu= -x\cos x-\int -\cos x dx= \\ \\ =-x \cos x + \int \cos x dx = \sin x - x \cos x +C$
2. Wykorzystam wzór redukcyjny:

$\int \sin^n xdx= -\dfrac{1}{n} \sin ^{n-1} x \cos x + \dfrac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}xdx \\ \\ \hbox{Podstawiam n=2:} \\ \\ \int \sin^2 x dx= -\dfrac{1}{2} \sin x \cos x + \dfrac{2-1}{2} \int \sin ^0 xdx= \\ \\ =-\dfrac{1}{4} \cdot \underbrace{2\sin x \cos x}_{\sin(2x)} + \dfrac{1}{2}\int dx = \\ \\ =\boxed{\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}\sin(2x)+C}$

3. Całkuję przez części:

$u=x \qquad dv=e^{-3x} \\ \\ du=dx \qquad v=\int e^{-3x}= -\dfrac{1}{3}e^{-3x} \\ \\ \hbox{v wyznaczylem ze wzoru} \ \ \ \int e^{ax}dx=\dfrac{1}{a}e^{ax}+C \\ \\ \hbox{Skad dalej mam:} \\ \\ \int xe^{-3x}=\int udv = uv - \int vdu = -\dfrac{1}{3}xe^{-3x}-\int -\dfrac{1}{3}e^{-3x}dx= \\ \\ = -\dfrac{1}{3}xe^{-3x} +\dfrac{1}{3} \int e^{-3x}dx = -\dfrac{1}{3}xe^{-3x}+\dfrac{1}{3} \cdot \left(-\dfrac{1}{3}e^{-3x}\right)+C=$

$=-\dfrac{1}{3}xe^{-3x}-\dfrac{1}{9}e^{-3x}+C = -e^{-3x} \left(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}\right)+C= \\ \\ =-\dfrac{1}{9}e^{-3x}(3x+1)$

4. Całkuję przez części:

$u=\arccos x \qquad dv=x^2 \\ \\ du=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \qquad v=\int x^2dx=\dfrac{1}{3}x^3 \\ \\ \int x^2 \arccos xdx = \int udv = uv - \int vdu = \\ \\ = \dfrac{1}{3}x^3 \arccos x -\int -\dfrac{1}{3}x^3 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx= \\ \\ = \dfrac{1}{3}x^3 \arccos x +\dfrac{1}{3} \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx$

Tam jest całka z ułamka. Ją całkuję ponownie przez części. Mamy:
$\int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx = -\int \left( \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot x^2\right)dx \\ \\ u=x^2 \qquad dv=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}= \dfrac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}} \\ \\ du=2x \qquad v = \int \dfrac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}}dx= \sqrt{1-x^2} \\ \\ \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx=-uv+\int vdu=-x^2\sqrt{1-x^2}+ \int 2x\sqrt{1-x^2}dx$

Tu się zmienił plus z minusem we wzorze na calkowanie przez części, bo przed całką tam stał minus.

Tam jest całka z pierwiastkiem. Ją całkuję tym razem przez podstawianie:
$\int 2x \sqrt{1-x^2} dx \\ \hbox{Dokonuje podstawienia:} \\ t=1-x^2 \\ \hbox{Rozniczkuje:} \\ -2xdx=dt \qquad /\cdot (-1) \\ \\ 2xdx=-dt \\ \hbox{Mam calke:} \\ \\ -\int \sqrt{t}dt = -\dfrac{t^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C= - \dfrac{t\sqrt{t}}{\frac{3}{2}}+C = -\dfrac{2}{3}t\sqrt{t}+C \\ \\ \hbox{Powracam do podstawienia:} \\ \\ \int 2x\sqrt{1-x^2}dx=-\dfrac{2}{3} (1-x^2) \sqrt{1-x^2}+C$

Okej, powracam do drugiego całkowania przez części i podstawiam mój wynik. Otrzymam:

$\int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx= -x^2 \sqrt{1-x^2}- \dfrac{2}{3}(1-x^2) \cdot \sqrt{1-x^2}+C= \\ \\ = \sqrt{1-x^2} \left(-x^2-\dfrac{2}{3}(1-x^2)\right)+C= -\dfrac{1}{3}\sqrt{1-x^2} (3x^2+2-2x^2)= \\ \\ =-\dfrac{1}{3}\sqrt{1-x^2}(x^2+2)+C$

I powracam do pierwszego całkowania przez części - teraz otrzymasz już swój końcowy wynik:

$\int x^2 \arccos x = \dfrac{1}{3}x^3 \arccos x +\dfrac{1}{3} \int \dfrac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}dx = \\ \\ =\boxed{\dfrac{1}{3}x^3 \arccos x -\dfrac{1}{9}\sqrt{1-x^2}(x^2+2)+C}$

5: Wykorzystam pierw tożsamość trygonometryczną:
$\sin x \cdot \cos y = \dfrac{\sin (x-y) + \sin (x+y)}{2} \\ \\ \hbox{A z niej:} \\ \\ 2 \sin (3x) \cdot \cos x = 2 \cdot \dfrac{\sin (3x-x) + \sin (3x+x)}{2} = \sin (2x)+\sin (4x) \\ \\ \hbox{Wykorzystam prosty wzor:} \\ \\ \int \sin (nx)dx= -\dfrac{1}{n} \cos (nx) +C \\ \\ \hbox{Skad mam:}$

$\int 2\cos x \sin (3x) dx= \int \sin (2x) dx+\int \sin(4x)dx = \\ \\ = -\dfrac{1}{2}\cos (2x) -\dfrac{1}{4}\cos (4x) +C$

2 votes Thanks 1